Conceptos Fundamentales de Álgebra: Ecuaciones y Productos Notables

Patrones y Ecuaciones

Ecuaciones Cuadráticas: Métodos y Soluciones

Exploración de las ecuaciones cuadráticas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

Ejemplos de Operaciones Básicas

9 x 17.01 = 153.09

17.01 x 9 = 153.09

Conversiones de Unidades

Las conversiones de unidades son fundamentales en diversas áreas. A continuación, se presentan las unidades de longitud y masa en el sistema métrico decimal:

Unidades de Longitud

• Km (Kilómetro)
• hm (Hectómetro)
• dam (Decámetro)
• m (Metro)
• dm (Decímetro)
• cm (Centímetro)
• mm (Milímetro)

Unidades de Masa

• Kg (Kilogramo)
• hg (Hectogramo)
• dag (Decagramo)
• G (Gramo)
• dg (Decigramo)
• cg (Centigramo)
• mg (Miligramo)

Regla General de Conversión:

• Hacia abajo (de mayor a menor unidad): multiplicación.
• Hacia arriba (de menor a mayor unidad): división.

Sistemas de Ecuaciones Lineales: Método de Suma y Resta

Resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante el método de suma y resta (también conocido como eliminación).

{ 4x - y = 11  (Ec. 1)
{ 3x + 2y = 11 (Ec. 2)

Pasos para la Resolución

1. Multiplicar la Ecuación 1 por 2 para igualar los coeficientes de 'y' con signos opuestos:

   2(4x - y) = 2(11)
   8x - 2y = 22  (Ec. 3)

2. Sumar la Ecuación 2 y la Ecuación 3 para eliminar 'y':

     3x + 2y = 11
   + 8x - 2y = 22
   ----------------
     11x     = 33

3. Despejar 'x':

   x = 33 / 11
   x = 3

4. (Opcional, pero recomendado para completar la solución) Sustituir 'x' en una de las ecuaciones originales para encontrar 'y'. Por ejemplo, en Ec. 1:

   4(3) - y = 11
   12 - y = 11
   -y = 11 - 12
   -y = -1
   y = 1

La solución del sistema es (x=3, y=1).

Ecuaciones Cuadráticas (Segundo Grado)

Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado son aquellas en las que el exponente mayor de la incógnita es 2. Al sustituir las soluciones en el lugar de la incógnita, la igualdad se cumple. Pueden tener:

• Dos soluciones distintas
• Una solución (o dos soluciones iguales)
• Ninguna solución real

Tipos de Ecuaciones Cuadráticas

Una ecuación cuadrática general se representa como ax² + bx + c = 0, donde 'a', 'b' y 'c' son coeficientes y 'a' ≠ 0.

• Ecuación Cuadrática Completa: Tiene los tres términos (ax², bx y c).

  ax² + bx + c = 0

• Ecuación Cuadrática Incompleta: Le falta el término de primer grado (bx) o el término independiente (c), o ambos.
  • Sin término de primer grado (bx):

    ax² + c = 0

    Ejemplo:

    3x² - 27 = 0
    3x² = 27
    x² = 27 / 3
    x² = 9
    x = ±√9
    x₁ = 3
    x₂ = -3

  • Sin término independiente (c):

    ax² + bx = 0

    Ejemplo:

    8x² = 0
    x² = 0 / 8
    x² = 0
    x = 0

Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Simples

Para simplificar las operaciones, se busca despejar la incógnita.

x² - 17 = 152
x² = 152 + 17
x² = 169
x = ±√169
x₁ = 13
x₂ = -13

Otro ejemplo:

8x² + 48 = 176
8x² = 176 - 48
8x² = 128
x² = 128 / 8
x² = 16
x = ±√16
x = 4 (Nota: la solución completa sería x=±4)

Productos Notables

Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas que, por sus características, pueden ser resueltas mediante una fórmula o regla específica, sin necesidad de realizar la multiplicación término a término. Son casos especiales de multiplicación y potencia de polinomios.

Ejemplos de Multiplicación de Polinomios

Aunque no son productos notables en sí, estos ejemplos ilustran la multiplicación de expresiones algebraicas:

A) Monomio por Polinomio:

(3x) (5x² - 6) = 15x³ - 18x

B) Polinomio por Polinomio:

(4x² - 3x + 3) (2x - 2)
= 8x³ - 8x² - 6x² + 6x + 6x - 6
= 8x³ - 14x² + 12x - 6

Cuadrado de un Binomio

El cuadrado de un binomio es el resultado de multiplicar un binomio por sí mismo: (a + b)² = (a + b)(a + b).

(a + b)² = a² + ab + ab + b²
          = a² + 2ab + b²

Regla: "El cuadrado del primer término, más (o menos) dos veces el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término." Este resultado se conoce como Trinomio Cuadrado Perfecto.

Ejemplos de Cuadrado de un Binomio

(2x + y)² = 4x² + 4xy + y²

Verificación:

(2x + y)(2x + y) = 4x² + 2xy + 2xy + y²
                  = 4x² + 4xy + y²

(3x - 2y)² = 9x² - 12xy + 4y²

(16x - 9)² = (16x - 9)(16x - 9)
           = 256x² - 144x - 144x + 81
           = 256x² - 288x + 81

Binomios Conjugados

Los binomios conjugados son aquellos que tienen los mismos términos, pero el signo de la operación entre ellos es distinto (uno es suma y el otro es resta). Por ejemplo, (a + b) y (a - b).

Multiplicación de Binomios Conjugados

(a + b)(a - b) = a² - ab + ab - b²
               = a² - b²

Regla: "El resultado es la diferencia de los cuadrados de los dos términos."

Ejemplos de Binomios Conjugados

(x + 3y)(x - 3y) = x² - 9y²

(8x - 10y)(8x + 10y) = 64x² - 100y²

(2x - 3)(2x + 3) = 4x² - 9

(6m + 11n)(6m - 11n) = 36m² - 121n²

Binomios con Término Común

Se presentan cuando dos binomios tienen un término común (por ejemplo, 'x') y los otros términos son diferentes (por ejemplo, 'a' y 'b').

(x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab
               = x² + (a + b)x + ab

Regla: "El cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes multiplicada por el término común, más el producto de los términos no comunes."