Conceptos Fundamentales de Álgebra: Expresiones, Monomios y Polinomios

El álgebra es una rama fundamental de las matemáticas que nos permite trabajar con cantidades desconocidas. Para ello, utiliza las expresiones algebraicas, que son combinaciones de letras, números y signos de operaciones aritméticas.

Las letras en estas expresiones se denominan variables o incógnitas, y representan números o cantidades cuyo valor desconocemos o puede variar.

Valor Numérico de una Expresión Algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir cada una de las variables por un número determinado y luego realizar las operaciones indicadas.

Monomios: Definición y Operaciones

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número (coeficiente) por una o varias variables elevadas a exponentes naturales. Los monomios constan de tres partes principales:

• Parte literal: Formada por las letras (variables) y sus respectivos exponentes.
• Coeficiente: El número que multiplica la parte literal.
• Grado: La suma de todos los exponentes de las variables que forman la parte literal.

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

Operaciones con Monomios

Suma y Resta de Monomios

Los monomios solo se pueden sumar y restar si son semejantes. En tal caso, basta con sumar o restar sus coeficientes y mantener la misma parte literal.

Multiplicación de Monomios

Para multiplicar cualquier par de monomios, se multiplican sus coeficientes y sus partes literales. Para multiplicar las partes literales, se suman los exponentes de las variables iguales.

Potencia de un Monomio

Para calcular la potencia de un monomio, se eleva el coeficiente al exponente indicado y cada una de las variables de la parte literal también se eleva a dicho exponente (multiplicando los exponentes existentes).

División de Monomios

Para dividir dos monomios, se dividen sus coeficientes y sus partes literales. Para dividir las partes literales, se restan los exponentes de las variables iguales.

Polinomios: Estructura y Operaciones

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de varios monomios no semejantes, a los que se les llama términos.

• El término principal es el monomio de mayor grado. Su coeficiente es el coeficiente principal.
• El término independiente es el monomio que no tiene parte literal (es decir, su grado es cero).
• El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman.

Operaciones con Polinomios

Suma y Resta de Polinomios

Para sumar o restar polinomios, se agrupan y operan los monomios semejantes que los forman.

Multiplicación de un Número por un Polinomio

Para multiplicar un número por un polinomio, se multiplica dicho número por cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Multiplicación de Polinomios

Para multiplicar polinomios, se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo polinomio. Luego, se operan (suman o restan) los monomios semejantes obtenidos.

Potencia de un Polinomio

Una potencia de exponente natural de un polinomio es igual al producto del polinomio por sí mismo tantas veces como indica el exponente.

División de un Polinomio entre un Monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio por el monomio.

Extracción de Factor Común

Si los monomios de un polinomio tienen factores comunes, se puede expresar el polinomio como el producto de un monomio, llamado factor común, por otro polinomio de grado menor. Esta operación se denomina extracción de factor común.

Productos Notables: Fórmulas Esenciales

Los productos notables son ciertas multiplicaciones de polinomios que aparecen frecuentemente y cuyas fórmulas pueden memorizarse para simplificar cálculos:

• Cuadrado de una Suma: El cuadrado de una suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo término más el doble del primero por el segundo.
  Fórmula: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Cuadrado de una Diferencia: El cuadrado de una diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo término menos el doble del primero por el segundo.
  Fórmula: (a - b)² = a² - 2ab + b²
• Suma por Diferencia: La suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.
  Fórmula: (a + b)(a - b) = a² - b²