Conceptos Fundamentales de Álgebra y Funciones: Resumen Matemático

Sistemas de Ecuaciones

• Compatible determinado: Solución única.
• Compatible indeterminado: Más de una solución.
• Incompatible: Sin solución.
• Compatible: Tiene solución.

Inecuaciones

• De 1º y 2º grado: Se resuelven como una ecuación y se determina el intervalo.
• Con dos incógnitas: Se representa como si fuera una ecuación, se toman dos puntos diferentes y se determina la región.

Ecuaciones de Segundo Grado

Forma general: ax² + bx + c = 0

• Casos especiales:
  • ax² + c = 0 → x = ±√(-c/a)
  • ax² = 0 → x = 0
• Discriminante (Δ = b² - 4ac):
  • Δ > 0: 2 soluciones.
  • Δ < 0: No tiene solución real.
  • Δ = 0: 1 solución.

Teorema del Resto

El valor numérico de un polinomio para x = a coincide con el resto de la división P(x) : (x - a).

Errores en el Cálculo

• Error absoluto: Valor real - Valor aproximado.
• Error relativo: Error absoluto / Valor real.

Racionalización

• Tipo a/√b: Se multiplica el numerador y el denominador por √b^n-1.
• Tipo a/(b ± √c): Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Razones Trigonométricas

• sen = cat. op / hipotenusa
• cos = cat. cont / hipotenusa
• tg = cat. op / cat. cont
• cosec = hipotenusa / cat. op
• sec = hipotenusa / cat. cont
• cotg = cat. cont / cat. op
• Identidades: cos² + sen² = 1; sec² = 1 + tg²; cosec² = 1 + cotg²

Funciones

Primer Grado (Funciones Afines)

Tipo: f(x) = mx + n. Su gráfica es una recta con pendiente m que pasa por (0, n). Dominio: ℝ. Si m > 0 es creciente; si m < 0 es decreciente.

Segundo Grado (Funciones Cuadráticas)

Tipo: f(x) = ax² + bx + c. Su gráfica es una parábola. Dominio: ℝ. Vértice: (-b/2a, - (b²-4ac)/4a).

• Si a > 0, el vértice es un mínimo.
• Si a < 0, el vértice es un máximo.
• Si ax², vértice (0,0), eje Y.
• Si ax² + c, vértice (0,c), eje Y.
• Si ax² + bx, vértice (-b/2a, -b²/4a).

Racionales

Tipo: f(x) = k/x. Dominio: ℝ - {0}. Si x = 0 hay una asíntota vertical; si y = 0 hay una asíntota horizontal. La función es impar y simétrica. Si k > 0 es decreciente y está en el 1º y 3º cuadrante.

Exponenciales

Tipo: f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1). Dominio: ℝ, Recorrido: (0, +∞). Pasa por (0, 1) y (1, a).

Logarítmicas

Tipo: f(x) = logₐ(x) (a > 0, a ≠ 1). Dominio: (0, +∞), Recorrido: ℝ. Pasa por (1, 0) y (a, 1). Si a > 1 es creciente.

Límites

• Indeterminación ∞ - ∞: Realizar la operación o multiplicar por el conjugado.
• Indeterminación ∞/∞: Se divide entre la potencia de x de mayor grado. Si grado denominador > grado numerador, el resultado es 0.