Conceptos Fundamentales de Álgebra y Geometría: Fórmulas y Propiedades

Fórmulas para Calcular el Área

• Triángulo: A = (b × h) / 2
• Rombo: A = (D × d) / 2
• Rectángulo: A = b × h
• Trapecio: A = h × (B + b) / 2
• Círculo: A = π × r²
• Polígono regular: A = (p × a) / 2 (donde 'p' es el perímetro y 'a' es la apotema)
• Cuadrado: A = L × L = L²

Múltiplos, Divisores y Números Primos

Números Primos y Compuestos

Se llama número primo a aquel número entero mayor que 1 que solo tiene dos divisores distintos: el número 1 y él mismo.

Un número compuesto es un número entero mayor que 1 que tiene más de dos divisores. Es decir, puede expresarse como el producto de números primos.

Características de los Números Primos:

• Son números enteros mayores que 1.
• Solo tienen dos divisores: el número uno y ellos mismos.
• Al dividir un número primo por sus únicos dos divisores, el resultado es un número entero y el residuo es cero.

Divisores

Un número 'a' es divisor de otro número 'b' si la división de 'b' entre 'a' es exacta (el residuo es cero).

Ejemplo 1: El conjunto de divisores de 12 es {1, 2, 3, 4, 6, 12}, porque al dividir 12 entre cada uno de estos números, el resultado es un número entero y el residuo es cero.

Ejemplo 2: Son divisores de 30: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.

Raíz Cuadrada

Si un número es un cuadrado perfecto (el resultado de multiplicar un número entero por sí mismo), su raíz cuadrada es exacta (trabajando con números naturales, es decir, enteros y positivos).

Si decimos que 6 × 6 = 6² = 36, entonces la raíz cuadrada de 36 es 6 (√36 = 6).

Otro ejemplo: Si 4 × 4 = 4² = 16, entonces la raíz cuadrada de 16 es 4 (√16 = 4).

Reglas de Divisibilidad

Se dice que un número es divisible entre otro si, al hacer la división, el residuo es cero. Para saber si un número es divisible entre otro sin hacer la división, existen algunas reglas basadas en las cifras del número.

Divisibilidad entre 2 o entre 5

• Un número es divisible entre 2 si su última cifra es par (0, 2, 4, 6 u 8).
• Un número es divisible entre 5 si su última cifra es 0 o 5.

Divisibilidad entre 4 y entre 6

• Son divisibles entre 4 los números naturales cuyas dos últimas cifras forman un número divisible entre 4, o si terminan en 00.
• Son divisibles entre 6 los números naturales que son divisibles entre 2 y entre 3 al mismo tiempo. (Recuerda: un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3).

Productos Notables y Factorización

El Cuadrado de la Suma de un Binomio

Regla: (a + b)² = a² + 2ab + b²

1. Se eleva al cuadrado el primer término (a²).
2. Más el doble del producto del primer término por el segundo término (+ 2ab).
3. Más el cuadrado del segundo término (+ b²).

Ejemplo: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Producto de Binomios con Término Común

Forma: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

1. Se eleva al cuadrado el término común (x²).
2. Se realiza la suma algebraica de los términos no comunes (a + b) y se multiplica por el término común ((a + b)x).
3. Se multiplican los términos no comunes (+ ab).

Diferencia de Dos Cuadrados

El producto de dos binomios conjugados (a + b)(a - b) es igual a una diferencia de cuadrados (a² - b²).

La factorización de una diferencia de cuadrados (a² - b²) da como resultado dos binomios conjugados (a + b)(a - b).

Expresiones Algebraicas

• Monomio: Expresión algebraica que tiene solo un término. Ejemplos: x, 2a, y², 1.8b, mn, 5xy, (1/2)a²b.
• Binomio: Expresión algebraica que tiene dos términos. Ejemplo: x + 3.
• Trinomio: Expresión algebraica que tiene tres términos. Ejemplo: x² + 2x + 1.
• Término independiente: Es el término (número) que no tiene parte literal (variables) en una expresión algebraica. Por ejemplo, en x + 3, el término independiente es 3. En 5xy + 4, es 4. En 3y⁴ - 8, es -8.

Sucesiones Numéricas

Ejemplo de Expresión General

Considera la sucesión: 2, 4, 6, 8, 10...

Observamos que cada término es el doble de su posición (n):

• Término 1 (n=1): 2(1) = 2
• Término 2 (n=2): 2(2) = 4
• Término 3 (n=3): 2(3) = 6
• Término 4 (n=4): 2(4) = 8

La expresión general para el término n-ésimo de esta sucesión es 2n.

Ley de los Signos en la Multiplicación

• (-) × (-) = +
• (+) × (-) = -
• (-) × (+) = -
• (+) × (+) = +

Ecuaciones

Fórmula General para Ecuaciones Cuadráticas

Para una ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0, donde a ≠ 0, las soluciones para x se pueden encontrar usando la fórmula general:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

Ecuaciones de Primer Grado con Dos Variables (Sistemas 2x2)

Método de Igualación

1. Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones obtenidas en el despeje y se resuelve la ecuación de primer grado con una variable resultante.
3. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de los despejes (o ecuaciones originales) para encontrar el valor de la otra variable.
4. Se comprueban los valores obtenidos sustituyéndolos en las dos ecuaciones originales.

Método de Suma o Resta (Reducción)

Procedimiento:

1. Se igualan los valores absolutos de los coeficientes de una de las variables (la que se desea eliminar), multiplicando una o las dos ecuaciones por números convenientes. Si los coeficientes tienen el mismo signo, se restarán las ecuaciones; si tienen signo opuesto, se sumarán.
2. Se realiza la suma o resta para eliminar una variable y se resuelve la ecuación de primer grado resultante para encontrar el valor de la variable restante.
3. Se sustituye el valor hallado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.
4. Se comprueban los valores obtenidos en ambas ecuaciones originales.

Análisis del Discriminante en Ecuaciones Cuadráticas

Podemos determinar el número y tipo de soluciones que tiene una ecuación cuadrática (ax² + bx + c = 0) a partir del valor del discriminante: Δ = b² - 4ac.

• Si b² - 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
• Si b² - 4ac = 0, la ecuación tiene una sola solución real (a veces llamada solución doble o raíz doble).
• Si b² - 4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones en los números reales (sus soluciones son números complejos conjugados).