Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Endomorfismos, Diagonalización y Formas Cuadráticas

Polinomio Característico, Valores y Vectores Propios

Podemos definir el polinomio característico asociado a un endomorfismo como el polinomio característico de cualquiera de las matrices que lo represente, pues estas son semejantes y el polinomio será el mismo sea cual sea la elegida (debido a la propiedad anterior).

El cálculo de valores y vectores propios de una matriz A de n × n sigue los siguientes pasos:

• Valores propios de A: Son las n raíces de C_A(x). Recordemos que en esta cuenta aparecen las raíces complejas, contadas con su multiplicidad.
• Vectores propios asociados al valor propio λ: Subespacio V(λ) = Ker(A − λI_n).

Además, dim V(λ) = n − rang(A − λI_n).

Multiplicidades Algebraica y Geométrica

A es una matriz n × n y f: Rⁿ → Rⁿ es el endomorfismo definido como f(e) = Ae para cada e ∈ Rⁿ (expresado en coordenadas en una base fijada cualquiera).

Definición: Sea λ un valor propio de f, se define:

• Multiplicidad geométrica de λ, mg(λ), como la dimensión del subespacio V(λ).
• Multiplicidad algebraica de λ, ma(λ), como la multiplicidad de λ como raíz de C_A(x).

Estas nociones se relacionan por la siguiente desigualdad:

Proposición: Para todo λ valor propio de f (o de A) se cumple: 1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ).

Diagonalización por Semejanza

• Sea f: E → E un endomorfismo. Se dice que f es diagonalizable (por semejanza) si existe una base en la que la matriz asociada a f es diagonal.
• Sea A una matriz cuadrada. Se dice que A es diagonalizable (por semejanza) si A es semejante a una matriz diagonal, es decir, si existen P regular y D diagonal tal que D = P^-1AP (o A = PDP^-1).

Proposición: Sea f: E → E un endomorfismo, y A su matriz asociada en una base cualquiera. Entonces: f es diagonalizable ⇔ A es diagonalizable.

Cuando f diagonaliza por semejanza, los elementos de la diagonal de D son los valores propios de f, y las columnas de P son los respectivos vectores propios asociados.

Si A es diagonalizable y encontramos que D = P^-1AP es diagonal, entonces Aⁿ = PDⁿP^-1 permite dar una expresión cómoda para la potencia n-ésima de A, ya que Dⁿ es trivial.

Formas Bilineales

Una forma bilineal en Rⁿ es una aplicación T: Rⁿ × Rⁿ → R que cumple las propiedades de linealidad en cada componente:

• T(λu + µv, w) = λT(u, w) + µT(v, w) para todo u, v, w ∈ Rⁿ, λ, µ ∈ R.

Fijada una base B = {e₁, ..., e_n} en Rⁿ, se denomina matriz asociada a la aplicación bilineal T en la base B a: A = (a_ij) ∈ M_n×n(R), donde a_ij = T(e_i, e_j).

Cuando A es la matriz asociada a la forma bilineal T en la base B, si [u₁, ..., u_n] y [v₁, ..., v_n] son las coordenadas de u y v en la base B, entonces: T(u, v) = [u₁ ... u_n] A [v₁ ... v_n]^T.

Formas Bilineales Simétricas y Hemisimétricas

Sea T: Rⁿ × Rⁿ → R una forma bilineal.

• T es simétrica si T(u, v) = T(v, u) para todo u, v ∈ Rⁿ.
• T es hemisimétrica si T(u, v) = −T(v, u) para todo u, v ∈ Rⁿ.

Proposición: Cuando T: Rⁿ × Rⁿ → R es una forma bilineal:

• T es simétrica ⇔ La matriz A asociada a T en cualquier base es simétrica (A = A^T).
• T es hemisimétrica ⇔ La matriz A asociada a T en cualquier base es hemisimétrica (A = −A^T).

Formas Cuadráticas y Polares

Sea B una base de Rⁿ. Si (x₁, ..., x_n)_B denotan las coordenadas en B de un vector x, una forma cuadrática q(x) es un polinomio homogéneo de grado 2 en las variables (x₁, ..., x_n).

Cuando q es una forma cuadrática sobre Rⁿ, si A es la matriz de q en la base B –por tanto, simétrica–, la forma polar de q es la forma bilineal simétrica sobre Rⁿ que hemos denominado T_A. Por tanto, en una misma base B, cualquier forma cuadrática tiene la misma matriz que su forma polar.

Regla de Descartes

Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales y todas sus raíces son reales, el número de raíces positivas (contando multiplicidades) es igual al número de cambios de signo de sus coeficientes consecutivos no nulos.