Conceptos Fundamentales del Álgebra: Números, Polinomios y Sistemas de Ecuaciones

Fundamentos de los Conjuntos Numéricos

Números Racionales ($\mathbb{Q}$)

El conjunto de los números $\mathbb{Q}$ está formado por todos aquellos números $q$ que se pueden escribir como una fracción $\frac{a}{b}$, donde $a$ y $b$ son números enteros y $b$ es distinto de cero ($b \neq 0$).

Números Irracionales ($\mathbb{I}$)

El conjunto de los números irracionales $\mathbb{I}$ está formado por los números que no pueden ser expresados como fracción. Su expresión decimal tiene un número infinito de cifras que no se repite de forma periódica.

Números Reales ($\mathbb{R}$)

El conjunto de los números reales está formado por la unión de los números racionales e irracionales y se representa por $\mathbb{R}$.

Operaciones y Expresiones

Radicales

Dado un número real $a$, se llama raíz enésima de $a$ o radical de índice $n$ de $a$ a todo número real $b$ que verifique que $b^n = a$. Se denota por $\sqrt[n]{a} = b$.

Valor Numérico de un Radical

Se llama valor numérico del radical $\sqrt[n]{a}$ a todo número real $b$ tal que $b^n = a$.

Polinomios

Teorema del Resto

El valor numérico de un polinomio $P(x)$ para $x=a$ coincide con el resto de la división $P(x):(x-a)$. Es decir, $P(a) = R$, donde $R$ es el resto de la división $P(x):(x-a)$.

Potencia de un Polinomio

La expresión $P(x)^n$ es una forma abreviada de escribir el producto del polinomio por sí mismo $n$ veces: $P(x)^n = P(x) \cdot P(x) \cdot \ldots \cdot P(x)$ ($n$ veces).

Raíces de un Polinomio

Si se cumple que el valor numérico del polinomio para $x=a$ es cero, entonces $a$ es una raíz de $P(x)$, lo que implica que $P(a) = 0$.

Factorización de Polinomios

Consiste en escribir un polinomio como producto de polinomios del menor grado posible.

Fracciones Algebraicas

Una fracción algebraica es una división indicada de dos polinomios, $\frac{P(x)}{Q(x)}$, donde el grado del polinomio denominador $Q(x)$ debe ser distinto de cero ($\text{grado}(Q(x)) \neq 0$).

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Definición

Una ecuación lineal es una ecuación de grado 1 que puede tener una o más incógnitas. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con varias incógnitas para el que se quiere encontrar una solución común.

Clasificación de Sistemas

Los sistemas de ecuaciones lineales, atendiendo a su número de soluciones, se clasifican en:

• Compatible: Cuando el sistema tiene alguna solución.
  • Determinado: Si la solución es única (geométricamente: rectas que se cortan en un punto).
  • Indeterminado: Si hay más de una solución (geométricamente: rectas que coinciden, son la misma recta).
• Incompatible: Cuando el sistema no tiene solución (geométricamente: rectas paralelas).

Representación en la Recta Real

Recta Real

La recta numérica en la que se representan todos los números reales se denomina recta real.

Intervalos

Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real.

Aproximaciones Numéricas

Tipos de Aproximaciones

Existen varios métodos para aproximar un número real:

1. Aproximaciones por defecto o truncamiento: Consiste en eliminar las cifras a partir del orden considerado, manteniendo las cifras anteriores.
2. Aproximaciones por exceso: Se eliminan las cifras a partir del orden considerado, pero se aumentan en una unidad la última cifra que se deja.

Redondeo

El redondeo es considerado la mejor de las aproximaciones, ya que busca minimizar el error entre el número original y su aproximación.