Conceptos Fundamentales de Aritmética: Potencias, Raíces y Divisibilidad

Reglas de los Signos

Estas reglas son fundamentales para operaciones de multiplicación y división:

• Positivo (+) y Positivo (+) = Positivo (+)
• Positivo (+) y Negativo (-) = Negativo (-)
• Negativo (-) y Negativo (-) = Positivo (+)
• Negativo (-) y Positivo (+) = Negativo (-)

Cálculo de Potencias

Una potencia indica cuántas veces se debe multiplicar la base por sí misma, según lo indica el exponente.

• Cualquier número elevado a 0 es 1. Ejemplo: 40 = 1
• Cualquier número elevado a 1 es el mismo número. Ejemplo: 451 = 45
• Potencia de un número negativo:
  • Si el exponente es par, el resultado es positivo. Ejemplo: (-4)2 = (-4) · (-4) = 16
  • Si el exponente es impar, el resultado mantiene el signo de la base. Ejemplo: (-4)3 = (-4) · (-4) · (-4) = -64
• Ejemplo de potencia positiva: 32 = 3 · 3 = 9

Operaciones con Potencias de la Misma Base

Cuando se realizan operaciones con potencias que tienen la misma base, las operaciones se efectúan con los exponentes y la base se mantiene:

• Multiplicación: Los exponentes se suman.
• División: Los exponentes se restan.
• Potencia de una Potencia (Paréntesis): Los exponentes se multiplican.

Cálculo de la Raíz Cuadrada

Para calcular la raíz cuadrada de un número, buscamos el número que, elevado al cuadrado, se aproxime más a la raíz o la iguale.

Este número (la base) será el resultado entero de la raíz. Para calcular el residuo, restamos al número original el resultado de elevar al cuadrado la parte entera de la raíz.

Operaciones con Números Enteros

Es crucial recordar la regla de los signos al operar con números enteros.

Ejemplo: (-7) + (-4) = -7 - 4 = -11

Operaciones Combinadas

El orden en el que se deben efectuar las operaciones es el siguiente:

1. Paréntesis () o Corchetes []: Resolver primero las operaciones dentro de ellos.
2. Potencias y Raíces: Calcular potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y Divisiones: Realizar de izquierda a derecha.
4. Sumas y Restas: Realizar de izquierda a derecha.

Criterios de Divisibilidad

Estos criterios nos ayudan a saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división completa:

• Divisibilidad por 2: Si la última cifra es par (0, 2, 4, 6, 8).
• Divisibilidad por 3: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Divisibilidad por 5: Si la última cifra es 0 o 5.
• Divisibilidad por 10: Si la última cifra es 0.
• Divisibilidad por 11: Si la suma alternada de sus cifras (empezando por la derecha, alternando signos) da 0 o un múltiplo de 11.

  Ejemplo para 121: 1 - 2 + 1 = 0 (121 es divisible por 11).

Múltiplos

Los múltiplos de un número son los resultados de multiplicar ese número por cualquier entero positivo.

Ejemplo: Múltiplos de 7:

M(7) = {7, 14, 21, 28, ...}

Divisores

Los divisores de un número son aquellos números que lo dividen de forma exacta, sin dejar residuo.

Ejemplo: Divisores de 21:

D(21) = {1, 3, 7, 21}

Se pueden encontrar utilizando los criterios de divisibilidad.

Números Primos

Son números naturales mayores que 1 que tienen únicamente dos divisores distintos: ellos mismos y el 1.

Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Factorización (Descomposición en Factores Primos)

La factorización se realiza dividiendo el número por los números primos más pequeños posibles, de forma sucesiva, hasta obtener 1.

Mínimo Común Múltiplo (MCM) y Máximo Común Divisor (MCD)

Cálculo del MCM

El MCM de dos o más números es el menor múltiplo común a todos ellos.

Para calcularlo, primero se descomponen los números en sus factores primos. Luego, se toman todos los factores primos (comunes y no comunes) elevados a su mayor exponente y se multiplican.

Ejemplo: MCM de 12 y 16

12 = 22 · 3
16 = 24

Factores comunes y no comunes con mayor exponente: 24 y 31

MCM(12, 16) = 24 · 3 = 16 · 3 = 48

Cálculo del MCD

El MCD de dos o más números es el mayor divisor común a todos ellos.

Para calcularlo, primero se descomponen los números en sus factores primos. Luego, se toman solo los factores primos comunes elevados a su menor exponente y se multiplican.

Ejemplo: MCD de 28 y 56

28 = 22 · 7
56 = 23 · 7

Factores comunes con menor exponente: 22 y 71

MCD(28, 56) = 22 · 7 = 4 · 7 = 28

Aplicación del MCM y MCD en Problemas

La elección entre MCM y MCD en la resolución de problemas depende del contexto:

• Si el problema busca un número mayor que los dados (ej. cuándo volverán a coincidir eventos), se suele usar el MCM.
• Si el problema busca un número menor que los dados (ej. el mayor tamaño para dividir algo en partes iguales), se suele usar el MCD.