Conceptos Fundamentales de Cálculo: Asíntotas, Continuidad y Derivadas de Funciones

Conceptos Clave en el Estudio de Funciones

Asíntotas

Las asíntotas son líneas a las cuales la gráfica de una función se acerca indefinidamente sin llegar a cruzarlas (o cruzándolas en un número finito de puntos).

Asíntota Vertical (AV)

• Definición: Una asíntota vertical existe en x = k, donde k es un valor que no pertenece al dominio de la función.
• Cálculo: Se determinan calculando los límites laterales de la función cuando x tiende a k. Si lim (x→k⁻) f(x) = ±∞ o lim (x→k⁺) f(x) = ±∞, entonces x = k es una asíntota vertical.

Asíntota Horizontal (AH)

• Definición: Una asíntota horizontal existe en y = k.
• Cálculo: Se determina calculando los límites de la función cuando x tiende a +∞ y -∞. Si lim (x→+∞) f(x) = k o lim (x→-∞) f(x) = k (donde k es un número real), entonces y = k es una asíntota horizontal.
• Posición de la Curva: Para determinar si la función se acerca por encima o por debajo de la asíntota, se estudia el signo de [f(x) - k] cuando x tiende a ±∞.
  • Si [f(x) - k] > 0, la función se acerca a la asíntota por arriba.
  • Si [f(x) - k] < 0, la función se acerca a la asíntota por abajo.

Asíntota Oblicua (AO)

• Definición: Una asíntota oblicua tiene la forma y = mx + n.
• Cálculo: Se determina si no existen asíntotas horizontales.
  • El valor de m se calcula como: m = lim (x→±∞) [f(x) / x].
  • El valor de n se calcula como: n = lim (x→±∞) [f(x) - mx].
  Si m y n son números reales y m ≠ 0, entonces y = mx + n es una asíntota oblicua.
• Posición de la Curva: Para determinar si la función se acerca por encima o por debajo de la asíntota, se estudia el signo de [f(x) - (mx + n)] cuando x tiende a ±∞.
  • Si [f(x) - (mx + n)] > 0, la función se acerca a la asíntota por arriba.
  • Si [f(x) - (mx + n)] < 0, la función se acerca a la asíntota por abajo.

Continuidad de Funciones

Una función f(x) es continua en un punto x = a si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. Existencia de la Imagen: La función está definida en el punto, es decir, existe f(a).
2. Existencia del Límite: El límite de la función cuando x tiende a a existe, lo que implica que los límites laterales son iguales: lim (x→a⁻) f(x) = lim (x→a⁺) f(x).
3. Coincidencia de Imagen y Límite: El valor de la función en el punto es igual al límite de la función en ese punto: f(a) = lim (x→a) f(x).

Para funciones definidas a trozos, la continuidad debe verificarse en los puntos de unión de los trozos y en cada intervalo donde la función está definida (considerando que las funciones elementales son continuas en su dominio).

Tipos de Discontinuidad

Cuando una función no es continua en un punto, presenta una discontinuidad. Existen dos tipos principales:

• Discontinuidad Evitable: Ocurre cuando el límite de la función en el punto existe, pero no coincide con la imagen de la función en ese punto, o la imagen no existe. Se puede "evitar" redefiniendo la función en ese punto.
• Discontinuidad Inevitable (o de Salto): Ocurre cuando el límite de la función en el punto no existe.
  • De Salto Finito: Los límites laterales existen, pero son diferentes. La diferencia entre ellos es el "salto".
  • De Salto Infinito: Al menos uno de los límites laterales es infinito (lo que indica la presencia de una asíntota vertical).

Derivadas de Funciones

Definición de Derivada en un Punto

La derivada de una función f(x) en un punto x₀ (un número real) se define como el límite del cociente incremental:

f'(x₀) = lim (h→0) [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h

Alternativamente, también se puede definir como:

f'(x₀) = lim (x→x₀) [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀)

Para calcular la derivada en un punto, se sustituye el valor del punto en la expresión obtenida al aplicar la definición de derivada.

Ecuación de la Recta Tangente

La ecuación de la recta tangente a la función f(x) en un punto (x₀, f(x₀)) es:

y - f(x₀) = m(x - x₀)

Donde:

• f(x₀): Es el valor de la función en el punto x₀ (se obtiene sustituyendo x₀ en la ecuación original de la función).
• m: Es la pendiente de la recta tangente, que es igual a la derivada de la función en el punto x₀ (m = f'(x₀)).
• x₀: Es la coordenada x del punto donde se desea calcular la recta tangente (por ejemplo, x₀ = -1).

Reglas Básicas de Derivación

A continuación, se presentan las reglas fundamentales para derivar funciones:

• Derivada de una Constante:

  Si f(x) = k (donde k es una constante)

  f'(x) = 0

• Derivada de la Función Identidad:

  Si f(x) = x

  f'(x) = 1

• Derivada de una Potencia:

  Si f(x) = xn

  f'(x) = n ⋅ xn-1

• Derivada de un Producto:

  Si y = f(x) ⋅ g(x)

  y' = f'(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g'(x)

• Derivada de un Cociente:

  Si y = f(x) / g(x)

  y' = [f'(x) ⋅ g(x) - f(x) ⋅ g'(x)] / [g(x)]2

• Derivada de una Constante por una Función:

  Si f(x) = k ⋅ g(x) (donde k es una constante)

  f'(x) = k ⋅ g'(x)

• Derivada de una Raíz Cuadrada:

  Si y = f(x)

  y' = f'(x) / (2 ⋅ f(x))

• Derivada de una Raíz Enésima:

  Si y = nf(x)

  y' = f'(x) / (n ⋅ nf(x)n-1)

• Derivada de una Exponencial con Base Constante:

  Si y = af(x) (donde a es una constante)

  y' = af(x) ⋅ f'(x) ⋅ ln(a)

• Derivada de un Logaritmo Natural:

  Si y = ln[f(x)]

  y' = f'(x) / f(x)

• Derivada de un Logaritmo en Base a:

  Si y = loga[f(x)]

  y' = [f'(x) / f(x)] ⋅ loga(e)