Conceptos Fundamentales de Cálculo: Continuidad, Límites, Derivadas y Logaritmos

Continuidad de Funciones

Definición de Continuidad

Una función f es continua en un punto x = a si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. Existe f(a) (la función está definida en a).
2. Existe el límite: lím f(x) cuando x → a.
3. El valor de la función en el punto coincide con el valor del límite: lím f(x)_x→a = f(a).

Tipos de Discontinuidades

Si una función no es continua en un punto, se dice que presenta una discontinuidad. Los tipos principales son:

• Discontinuidad Evitable

  Ocurre cuando existe el límite lím f(x)_x→a, pero se da una de estas situaciones:

  • El límite no coincide con el valor de la función: lím f(x)_x→a ≠ f(a).
  • La función no está definida en el punto: no existe f(a).

• Discontinuidad de Salto (o Salto Finito)

  No existe el límite lím f(x)_x→a porque los límites laterales existen y son finitos, pero no coinciden:

  lím f(x)_x→a⁻ ≠ lím f(x)_x→a⁺

• Discontinuidad de Salto Infinito (o Asintótica)

  No existe el límite lím f(x)_x→a porque al menos uno de los límites laterales (o ambos) es infinito.

  (Relacionado con las asíntotas verticales).

• Discontinuidad Esencial

  No existe el límite lím f(x)_x→a porque alguno (o ambos) de los límites laterales no existe (por ejemplo, por oscilaciones).

Asíntotas de Funciones

Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica de la función se aproxima indefinidamente sin llegar a cortarlas.

• Asíntotas Horizontales

  La recta y = L es una asíntota horizontal si:

  L = lím f(x) cuando x → ∞ o x → -∞

• Asíntotas Verticales

  La recta x = b es una asíntota vertical si:

  lím f(x) = ±∞ cuando x → b⁺ o x → b⁻

• Asíntotas Oblicuas

  La recta y = m·x + n es una asíntota oblicua si existen los siguientes límites:

  m = lím [f(x) / x] cuando x → ±∞

  n = lím [f(x) - m·x] cuando x → ±∞

  (Nota: Si existe asíntota horizontal, no existirá oblicua en esa dirección).

Límites de Funciones

Definición Formal de Límite (Épsilon-Delta)

Diremos que L es el límite de una función f(x) cuando x tiende al punto a (lím f(x)_x→a = L), cuando para cualquier valor positivo ε (épsilon), por pequeño que sea, es posible encontrar otro número positivo δ (delta), tal que si la distancia entre x y a es menor que δ (0 < |x - a| < δ), entonces la distancia entre f(x) y L es menor que ε (|f(x) - L| < ε).

Cálculo de Límites e Indeterminaciones

Al calcular límites, podemos encontrar expresiones cuyo valor no está determinado directamente, conocidas como indeterminaciones. Aquí se describen algunas comunes y cómo resolverlas:

• Indeterminación ∞ / ∞

  Si f(x) es una función racional (cociente de polinomios), se dividen numerador y denominador por la potencia de x de mayor grado.

  Si aparecen radicales, puede ser útil multiplicar y dividir por el conjugado.

  En otros casos, se realizan las operaciones indicadas o se aplican otras técnicas como la regla de L'Hôpital (si se conocen derivadas).

  Resumen: Comparar los grados del numerador y denominador.

• Indeterminación 0 / 0

  Si f(x) es una función racional, se factorizan numerador y denominador y se simplifican los factores comunes (como (x-a)).

  Si la función es irracional (contiene raíces), se multiplica numerador y denominador por la expresión conjugada.

  Resumen: Factorizar y simplificar.

• Indeterminación k / 0 (con k ≠ 0)

  El límite será +∞, -∞ o no existirá. Se resuelve calculando los límites laterales (cuando x → a⁺ y x → a⁻) para determinar el signo del infinito.

  Resumen: Hallar límites laterales.

• Indeterminación ∞ - ∞

  Si involucra raíces cuadradas, a menudo se resuelve multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada.

  En otros casos (como resta de fracciones), se realiza la operación para intentar llegar a otra indeterminación (∞/∞ o 0/0).

  Resumen (raíces): Multiplicar y dividir por el conjugado.

• Indeterminación 1^∞

  Se utiliza la propiedad relacionada con el número e:

  Si lím P(x) = 1 y lím Q(x) = ∞ cuando x → a (o ∞), entonces:

  lím [P(x)]^Q(x) = e^{lím [Q(x) · (P(x) - 1)]} (cuando x → a o ∞)

Propiedades de los Logaritmos

• log A + log B = log (A · B)
• log A - log B = log (A / B)
• k · log A = log A^k
• Cambio de base: log_a x = log_b x / log_b a
• a = log_b b^a
• log_a a = 1
• log_a 1 = 0

Reglas de Derivación

Sea u = u(x) y v = v(x) funciones derivables, y n, a constantes.

Derivadas de Funciones Potenciales

• Si y = xⁿ → y´ = n · x^{n - 1}
• Si y = uⁿ → y´ = n · u^n-1 · u´ (Regla de la cadena)
• Regla del producto: Si y = u · v → y´ = u´v + uv´
• Regla del cociente: Si y = u / v → y´ = (u´v - uv´) / v²

Derivadas de Funciones Exponenciales

• Si y = e^u → y´ = e^u · u´
• Si y = a^u → y´ = a^u · u´ · ln a

Derivadas de Funciones Logarítmicas

• Si y = ln u → y´ = u´ / u
• Si y = log_a u → y´ = u´ / (u · ln a)

Derivadas de Funciones Trigonométricas

• Si y = sen u → y´ = cos u · u´
• Si y = cos u → y´ = -sen u · u´
• Si y = tan u → y´ = sec²u · u´