Conceptos Fundamentales del Cálculo Diferencial: Derivadas y Teoremas Clave

Definición de Derivada

La derivada de una función f(x) se define como:

f'(x) = (f(x + a) - f(x)) / a

Estudio Analítico Completo de una Función

Para realizar un estudio analítico completo de una función, se deben considerar los siguientes aspectos:

• Dominio, signo y ordenada en el origen.
• Límites laterales en puntos de no existencia o de cambio de función.
• Límites en el infinito, estudio de asíntotas horizontales u oblicuas.
• Crecimiento.
• Concavidad.

Infinitésimos Equivalentes

Sean f(x) y g(x) infinitésimos para x tendiendo a A. Se dice que f(x) es equivalente a g(x) si y solo si:

lím (x → A) f(x) / g(x) = 1

Para infinitos, se aplica la misma definición, pero cuando x tiende a infinito.

Definición Formal de Derivada

Sea F: D ⊆ ℝ → ℝ, y sea 'a' un punto de acumulación perteneciente a D.

f es derivable en 'a' si y solo si existe y es finito el siguiente límite:

lím (x → a) (f(x) - f(a)) / (x - a)

Si f es derivable en 'a', al resultado se le llama derivada de f en a. Llamaremos función derivada a la función que asocia a cada valor x donde f es derivable, su derivada en él.

Relación entre Derivada y Crecimiento

Hipótesis (H): f es derivable en 'a', con a > 0 y a < 0.

Implicación (I): Si f'(a) > 0, entonces f es creciente en 'a'. Si f'(a) < 0, entonces f es decreciente en 'a'.

Caso f'(a) > 0

lím (x → a) (f(x) - f(a)) / (x - a) = f'(a)

Por el teorema de la continuidad, existe un entorno reducido de centro 'a' y radio delta, E*(a; δ), donde (f(x) - f(a)) / (x - a) es positivo. Entonces:

• Si x ∈ E*-(a; δ), entonces x - a < 0. Como (f(x) - f(a)) / (x - a) > 0, entonces f(x) - f(a) < 0, lo que implica f(a) > f(x).
• Si x ∈ E*+(a; δ), entonces x - a > 0. Como (f(x) - f(a)) / (x - a) > 0, entonces f(x) - f(a) > 0, lo que implica f(a) < f(x).

De lo anterior, se concluye que f es creciente en 'a'.

Caso f'(a) < 0

lím (x → a) (f(x) - f(a)) / (x - a) = f'(a)

Por el teorema de la continuidad, existe un entorno reducido de centro 'a' y radio delta, E*(a; δ), donde (f(x) - f(a)) / (x - a) es negativo. Entonces:

• Si x ∈ E*-(a; δ), entonces x - a < 0. Como (f(x) - f(a)) / (x - a) < 0, entonces f(x) - f(a) > 0, lo que implica f(a) < f(x).
• Si x ∈ E*+(a; δ), entonces x - a > 0. Como (f(x) - f(a)) / (x - a) < 0, entonces f(x) - f(a) < 0, lo que implica f(a) > f(x).

De lo anterior, se concluye que f es decreciente en 'a'.

Teorema de Bolzano

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y f(a) y f(b) son de distinto signo, entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema de Darboux (Teorema de los Valores Intermedios)

Hipótesis (H): f es continua en [a, b]. M y m son el máximo y mínimo de f en [a, b] (cuya existencia está garantizada por el Teorema de Weierstrass). λ ∈ ℝ tal que m ≤ λ ≤ M.

Tesis (T): Existe al menos un c ∈ [a, b] tal que f(c) = λ.

Demostración

Como M = máx f([a, b]) y m = mín f([a, b]), entonces existen x1, x2 ∈ [a, b] tales que:

• f(x2) = M ≥ f(x) para todo x ∈ [a, b]
• f(x1) = m ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b]

Si λ = m o λ = M, entonces x1 o x2 sería el c buscado. Por lo tanto, consideraremos m < λ < M.

Definimos g(x) = f(x) - λ. Entonces:

• g(x2) = f(x2) - λ = M - λ > 0
• g(x1) = f(x1) - λ = m - λ < 0

Como g(x) es continua en [a, b] (por ser diferencia de funciones continuas) y g(x1) y g(x2) tienen signos opuestos, por el Teorema de Bolzano, existe c ∈ (x1, x2) tal que g(c) = 0. Entonces, f(c) - λ = 0, lo que implica f(c) = λ. Además, c ∈ [a, b], ya que c ∈ [x1, x2] ⊆ [a, b].