Conceptos Fundamentales del Cálculo Diferencial: Teoremas Clave y Aplicaciones

Teorema 5 (de Fermat): Extremos Relativos y Puntos Estacionarios

Sea f : A ⊆R→R y a ∈ A. Si f es derivable en a y a es un extremo relativo de f, entonces f′(a) = 0. Los puntos a ∈R donde f′(a) = 0 se denominan puntos estacionarios de f.

Así pues, el teorema anterior afirma que si f alcanza en a un extremo relativo, entonces f′(a) = 0. Por tanto, para buscar los extremos relativos de una función, deberemos estudiar sus puntos estacionarios. No obstante, esto no quiere decir que si f′(a) = 0, entonces f alcance obligatoriamente en a un extremo relativo.

Teorema 7 (Regla de L’Hôpital): Cálculo de Límites Indeterminados

Sea ]a,b[ un intervalo abierto y sea c ∈]a,b[. Sean f,g dos funciones que verifican:

• f y g son derivables en ]a,b[ excepto quizás en c;
• g′(x) no es igual a 0 para todo x ∈]a,b[ excepto quizás en c;
• al calcular lim(x→c) f(x)/g(x) se produce una indeterminación del tipo ∞/∞ o 0/0;
• lim (x→c) f′(x) / g′(x) = ℓ ∈R o ±∞.

Entonces

lim (x→c) f(x)/g(x) = lim (x→c) f′(x)/g′(x)

El mismo resultado también es válido si se calculan límites laterales o para límites en el infinito.

Teorema 8 (Fórmula de Taylor): Aproximación Polinomial de Funciones

Sea f una función derivable en el intervalo ]b,c[ hasta el orden n + 1. Sea a ∈]b,c[. Entonces

f(x) = Pn(x) + Rn(x) para todo x ∈]b,c[

donde Pn(x) es un polinomio de grado n, llamado polinomio de Taylor, y que viene dado por

y Rn(x) es el llamado resto de Lagrange o término complementario, cuya expresión es

donde 0 < ξ < 1. Si a = 0 se obtiene la fórmula de

El teorema nos indica que toda función que admita derivada de orden n + 1 puede aproximarse con un polinomio de orden n, y el error que se comete en la aproximación es Rn(x).

Teorema 9 (de Rolle): Existencia de Puntos Críticos

Sea f : [a,b] → R una función continua en [a,b], derivable en ]a,b[ tal que f(a) = f(b). Entonces existe c ∈]a,b[ tal que f′(c) = 0.

Teorema 10 (del Valor Medio): Relación entre Derivada y Variación

Sea f : [a,b] → R una función continua en [a,b] y derivable en ]a,b[. Entonces existe c ∈]a,b[ tal que f′(c) = (f(b)−f(a)) / (b−a).

Del teorema del valor medio se pueden deducir numerosas consecuencias, de las cuales destacamos las siguientes:

1. Una función continua en un intervalo [a,b] cuya derivada en ]a,b[ es nula, es una función constante en [a,b].
2. Si f y g son continuas en [a,b] y sus derivadas son iguales en ]a,b[, entonces f − g es una función constante en [a,b].
3. Si f es continua en un intervalo [a,b], y posee derivada positiva en su interior ]a,b[, entonces f es estrictamente creciente en ]a,b[. Si la derivada es negativa, entonces la función será estrictamente decreciente en ]a,b[.