Conceptos Fundamentales de Cálculo Diferencial en Varias Variables

Funciones Escalares y Vectoriales

• Función escalar: Es cualquier aplicación de la forma:
  f: A ⊆ Rⁿ → R | (x₁,...,x_n) → f(x) = y
• Función vectorial: Es cualquier aplicación de la forma:
  f: A ⊆ Rⁿ → R^m | (x₁,...,x_n) → f(x) = y = (f₁,...,f_n)
  El estudio de una función vectorial se reduce al estudio de cada una de sus componentes.

Curvas de Nivel

• Se denomina curva de nivel K ∈ R de una función escalar f al conjunto: C_k = {x ∈ A / f(x) = k}
• Las distintas curvas de nivel de una función están formadas por todos los puntos que tienen la misma imagen.
• Para funciones de 2 variables f(x, y), las curvas de nivel k se obtienen cortando la función por planos horizontales de ecuación z = k.

Teorema de Unicidad del Límite

• El límite de una función de varias variables en un punto, si existe, es único.

Derivabilidad y Derivada

• Derivable: Sea f: A ⊆ R → R una función, se dice que es derivable en un punto x₀ ∈ A si existe y es finito el límite.
• Derivada. Interpretación geométrica:
  • La derivada de una función f en un punto x₀, es la pendiente de la recta tangente a f en x₀.
  • Ecuación de la recta tangente: y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

Diferencial

• Sea f: A ⊆ R → R derivable en x₀ ∈ A. Llamamos diferencial de f en x₀ a la aplicación lineal:
  Df(x₀): R → R |
  h → Df(x₀)(h) = f'(x₀)h

Teorema de Rolle

• Sea f: [a, b] → R continua en [a, b] y derivable en (a, b) y f(a) = f(b). Entonces existe por lo menos un c ∈ (a, b) / f'(c) = 0.

Teorema del Valor Medio

• Sea f: [a, b] → R función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe por lo menos un c ∈ (a, b) / f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a).

Derivada Direccional

• Sea f: A ⊆ Rⁿ → R, sea e ∈ Rⁿ un vector unitario, diremos que f es derivable en la dirección del vector e en el punto x₀ si existe y es finito:
  lim_t→0 [f(x₀ + te) - f(x₀)] / t = D_ef(x₀)

Derivadas Parciales

• Sea f: A ⊆ Rⁿ → R, sea x₀ ∈ A. Se definen las derivadas parciales de f como las derivadas direccionales en x₀ de f en la dirección de los vectores canónicos de Rⁿ.

Gradiente

• Sea f: A ⊆ Rⁿ → R y x₀ ∈ A, tal que f admite derivadas parciales en x₀. Se define el gradiente de f en x₀ (∇f(x₀)) como el vector de Rⁿ:
  ∇f(x₀) = (D₁f(x₀),...,D_nf(x₀))

Diferencial en Varias Variables

• Sea f: A ⊆ Rⁿ → R y x₀ ∈ A. Se define la diferencial de f en x₀ (Df(x₀)) como la aplicación lineal:
  Df(x₀): Rⁿ → R | h = (h₁,...,h_n) → Df(x₀)(h) = (∇f(x₀), h)
• Diferenciable: Sea f: A ⊆ Rⁿ → R y x₀ ∈ A. f es diferenciable en el punto x₀ si:
  lim_h→0 [f(x₀ + h) - f(x₀) - Df(x₀)(h)] / ||h|| = 0
  siendo Df(x₀) ∈ L(Rⁿ, R) la aplicación diferencial.
• Diferenciable: Sea G ⊆ Rⁿ → R^m y x₀ ∈ G. Se dice que es diferenciable en x₀ si existe una aplicación lineal Df(x₀) ∈ L(Rⁿ, R^m) y Φ: G ⊆ Rⁿ → R^m continua en x₀ tal que Φ(x₀) = 0 verificando que:
  f(x) = f(x₀) + Df(x₀)(x - x₀) + ||x - x₀|| Φ(x)

Jacobiana

• Sea f: Rⁿ → R^m. La matriz asociada a Df(x₀) se llama jacobiana de f en x₀ y se escribe:
  Jf(x₀) = ... (Matriz de derivadas parciales)

Continuidad de una Función en un Punto

• f: A ⊆ Rⁿ → R y dado a ∈ A, f es continua en a ∈ A si:
  lim_x→a f(x) = f(a)
• f: A ⊆ Rⁿ → R^m y dado a ∈ A, f es continua en a ∈ A si:
  lim_x→a f(x) = f(a)

Diferencial (Aplicación)

• Df(x₀): Rⁿ → R^m | (h₁,...,h_n) → Df(x₀)(h₁,...,h_n) = Jf(x₀) (h₁,...,h_n)^T

Función Homogénea

• Sea f: Rⁿ → R una función. Se dice que f es homogénea de grado m si verifica:
  f(tx) = t^m f(x) ∀x ∈ Rⁿ y ∀t > 0

Teorema de Euler

• Sea f: Rⁿ → R una función diferenciable en Rⁿ. Entonces f es homogénea de grado m si y solo si:
  mf(x) = ∇f(x) · x

Teorema de Schwartz

• Si f: G ⊆ Rⁿ → R es de clase r en G, es decir, f ∈ C^r(G), entonces todas las derivadas parciales de f de orden ≤ r respecto a los mismos índices coinciden.

Conjunto Convexo

• Sea A un conjunto de Rⁿ. Se dice que A es un conjunto convexo si, y solo si, dados 2 puntos cualesquiera de A, el segmento que los une está contenido en A.

Envolvente Convexa

• Se denomina envolvente convexa de S ⊆ Rⁿ y se denota por conv(S) a la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a S. conv(S) es el menor conjunto convexo que contiene a S.

Función Convexa

• f es convexa en M si y solo si:
  f(αx + (1 - α)y) ≤ αf(x) + (1 - α)f(y) ∀α ∈ [0, 1] ∀x, y ∈ Rⁿ
• f es estrictamente convexa en M si y solo si:
  f(αx + (1 - α)y) < αf(x) + (1 - α)f(y) ∀α ∈ (0, 1) ∀x, y ∈ Rⁿ

Función Cóncava

• f es cóncava en M si y solo si:
  f(αx + (1 - α)y) ≥ αf(x) + (1 - α)f(y) ∀α ∈ [0, 1] ∀x, y ∈ Rⁿ
• f es estrictamente cóncava en M si y solo si:
  f(αx + (1 - α)y) > αf(x) + (1 - α)f(y) ∀α ∈ (0, 1) ∀x, y ∈ Rⁿ

Máximo y Mínimo Local y Global

• Máximo local: Se dice que x₀ ∈ X es un máximo local para el problema si:
  ∃ r > 0 / ∀ x ∈ B(x₀, r) ∩ X se verifica que F(x) ≤ F(x₀)
• Máximo global: Diremos que x₀ ∈ X es un máximo global para el problema si:
  ∀ x ∈ X se verifica que F(x) ≤ F(x₀)
• Mínimo local: Diremos que x₀ ∈ X es un mínimo local para el problema si:
  ∃ r > 0 / ∀ x ∈ B(x₀, r) ∩ X se verifica que F(x) ≥ F(x₀)
• Mínimo global: Se dice que x₀ ∈ X es un mínimo global para el problema si:
  ∀ x ∈ X se verifica que F(x) ≥ F(x₀)

Teorema de Weierstrass

• Dado el problema general: optimizar F(x) sujeto a x ∈ X.
• Si se verifica:
  1. X es un conjunto compacto y no vacío.
  2. La función objetivo F es continua.
• Entonces el problema admite un máximo y un mínimo global (es una condición suficiente, no necesaria).

Teorema Fundamental de la Programación Convexa

A. Problema Convexo

• Dado el problema: optimizar F(x) sujeto a x ∈ X.
• Diremos que es un problema convexo si se verifica:
  1. F es cóncava o convexa en X.
  2. X es un conjunto convexo.

B. Teorema de la Programación Convexa

• Para un problema de optimización convexo, si x₀ ∈ X es un máximo local, entonces x₀ es un máximo global.
• El conjunto de máximos de un problema de optimización convexo es un conjunto convexo.
• Por tanto, para que los máximos-mínimos locales sean máximos-mínimos globales, se tiene que cumplir:
  1. F cóncava o convexa en X.
  2. X conjunto convexo.

Punto Crítico

• Sea f: A ⊆ Rⁿ → R.
• Todo punto x₀ ∈ A / ∇f(x₀) = Θ se llama punto crítico de f: máximo, mínimo o punto de silla.
• Los extremos relativos que no son extremos absolutos se llaman puntos de silla.

Multiplicadores de Lagrange

• El multiplicador de Lagrange en el óptimo nos informa de cómo se comportará el valor óptimo de la función en un entorno del punto óptimo (x_c, y_c) frente a cambios infinitesimales en el valor del término independiente: ΔF(c) = λ(c) · Δc.