Conceptos Fundamentales de Cálculo y Funciones Matemáticas

Conceptos Fundamentales de Cálculo Diferencial e Integral

Derivadas

La derivada de una función f(x) en un punto x=a, que se denota o se escribe como f'(a), se define como:

f'(a) = lim_x→a (f(x) - f(a)) / (x - a)

Función Derivada

Dada una función f(x) definida en ℝ, su función derivada se denota como f'(x) y se define como:

f'(x) = lim_h→0 (f(x+h) - f(x)) / h

Esto es válido para todo x ∈ Dom(f(x)) en el que el límite anterior existe.

Integrales

Función Primitiva

Se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) que cumple que F'(x) = f(x). Si F(x) es una función primitiva de f(x), cualquier otra función primitiva de f(x) es de la forma F(x) + K, donde K ∈ ℝ es una constante.

Integral Indefinida de una Función

La integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de todas sus primitivas y se representa como ∫ f(x)dx. Se lee "la integral de f(x) diferencial de x".

Si F(x) es una primitiva de f(x), entonces:

∫ f(x)dx = F(x) + K

A K se le llama constante de integración.

Fórmulas de Derivación

A continuación, se presentan las fórmulas de derivación para funciones comunes y sus propiedades:

Derivadas de Funciones Trigonométricas

• Si y = cos(x), entonces y' = -sen(x)
• Si y = cos(u), entonces y' = -sen(u) ⋅ u'
• Si y = tan(x), entonces y' = 1 + tan²(x) (o sec²(x))
• Si y = tan(u), entonces y' = (1 + tan²(u)) ⋅ u'

Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas

• Si y = arctan(x), entonces y' = 1 / (1 + x²)
• Si y = arcsen(x), entonces y' = 1 / √(1 - x²)
• Si y = arcsen(u), entonces y' = u' / √(1 - u²)
• Si y = arccos(x), entonces y' = -1 / √(1 - x²)

Propiedades de la Derivación

• Suma/Resta: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x). La derivada de la resta es similar, pero con un signo menos.
• Producto por una Constante: (k ⋅ f(x))' = k ⋅ f'(x)
• Producto de Funciones: (f(x) ⋅ g(x))' = f'(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g'(x)
• Cociente de Funciones: (f(x) / g(x))' = (f'(x) ⋅ g(x) - f(x) ⋅ g'(x)) / (g(x))²
• Regla de la Cadena: (g(f(x)))' = g'(f(x)) ⋅ f'(x)

Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas

• Si y = e^u, entonces y' = e^u ⋅ u'
• Si y = a^x, entonces y' = a^x ⋅ ln(a)
• Si y = a^u, entonces y' = a^u ⋅ u' ⋅ ln(a)
• Si y = ln(x), entonces y' = 1 / x
• Si y = ln(u), entonces y' = (1 / u) ⋅ u'

Derivadas de Funciones Potenciales y Raíces

• Si y = √x, entonces y' = 1 / (2√x)
• Si y = √u, entonces y' = (1 / (2√u)) ⋅ u'
• Si y = k ⋅ xⁿ, entonces y' = k ⋅ n ⋅ x^n-1
• Si y = k ⋅ uⁿ, entonces y' = k ⋅ n ⋅ u^n-1 ⋅ u'
• Si y = xⁿ, entonces y' = n ⋅ x^n-1
• Si y = uⁿ, entonces y' = n ⋅ u^n-1 ⋅ u'

Tipos de Funciones

Funciones Exponenciales

Para una función de la forma y = a^x (con a > 0, a ≠ 1):

• Dominio: ℝ
• Recorrido: (0, +∞)
• Siempre pasa por el punto (0,1).
• Si a > 1, la función es creciente.
• Si 0 < a < 1, la función es decreciente.

Funciones Logarítmicas

Para una función de la forma y = log_a(x) (con a > 0, a ≠ 1):

• Dominio: (0, +∞)
• Recorrido: ℝ
• Siempre pasa por el punto (1,0).

Funciones Trigonométricas Básicas

Función Seno

Para y = sen(x):

• Dominio: ℝ
• Recorrido: [-1, 1]
• Período: 2π (sen(x + 2kπ) con k ∈ ℤ)
• Máximos: en x = π/2 + 2kπ
• Mínimos: en x = 3π/2 + 2kπ

Función Coseno

Para y = cos(x):

• Dominio: ℝ
• Recorrido: [-1, 1]
• Período: 2π, igual que la función seno.
• Máximos: en x = 2kπ
• Mínimos: en x = π + 2kπ

Función Tangente

Para y = tan(x):

• Dominio: ℝ - {π/2 + kπ | k ∈ ℤ}
• Recorrido: ℝ
• Período: π (es una función periódica con período π)
• Es una función siempre creciente en su dominio.
• Es una función impar.

Valores Notables y Fórmulas Trigonométricas

Valores Trigonométricos para Ángulos Comunes

Fórmulas de Suma y Resta de Ángulos

• Seno de la Suma: sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)
• Coseno de la Suma: cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sen(α)sen(β)
• Tangente de la Suma: tan(α + β) = (tan(α) + tan(β)) / (1 - tan(α)tan(β))