Conceptos Fundamentales de Conjuntos y Cardinalidad: Pares Ordenados, Producto Cartesiano y Aplicaciones

Par Ordenado

Un par ordenado de números, escrito como (a, b), es una secuencia de dos elementos donde uno de ellos es el primero (a en este caso) y el otro es el segundo (b). Si a ≠ b, entonces (a, b) ≠ (b, a). Si (a, b) = (c, d), entonces a = c y b = d. Para tres elementos, se llama tripleta ordenada, y para n elementos, n-tupla.

Producto Cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, escrito como A x B, es un nuevo conjunto formado por todos los pares ordenados cuyo primer elemento pertenece a A y el segundo elemento pertenece a B.

Formalmente: A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}

Ejemplo: Si A = {a, b, c} y B = {1, 2}, entonces:

A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

El producto cartesiano no cumple la propiedad conmutativa.

Aplicaciones

Una aplicación es una correspondencia en la que a todos o a cada uno de los elementos del conjunto inicial les corresponde un único elemento del conjunto final.

Tipos de Aplicaciones

• Inyectiva: Si a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un valor distinto en el conjunto final.
• Sobreyectiva: Si a todos los elementos del conjunto final les corresponde al menos un valor del conjunto inicial.
• Biyectiva: Si es a la vez inyectiva y sobreyectiva; es decir, si a todos los elementos del conjunto final les corresponde un único valor del conjunto inicial y viceversa.

Algoritmo de Euclides

El algoritmo de Euclides sirve para calcular el máximo común divisor (MCD) de dos números. Se siguen los siguientes pasos:

1. Se divide el número mayor por el menor.
2. Si la división es exacta, el divisor es el MCD.
3. Si la división no es exacta, se divide el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esa forma hasta obtener una división exacta.

El último divisor es el MCD de los dos números.

Fracción Generatriz de un Número Decimal

Para pasar de un número decimal finito a una fracción decimal, se pone como numerador el número sin la coma y como denominador la potencia de 10 cuyo exponente es la cantidad de cifras decimales del número.

Ordenación de Cardinales

Se puede establecer una relación entre los cardinales de los conjuntos:

Card(A) ≤ Card(B) ⇔ ∃ una aplicación inyectiva desde A hasta B.

La relación '≤' entre cardinales de conjuntos es una relación de orden, porque cumple las siguientes propiedades:

• Reflexiva: Card(A) ≤ Card(A).
• Antisimétrica: Si Card(A) ≤ Card(B) y Card(B) ≤ Card(A) ⇔ Card(A) = Card(B).
• Transitiva: Si Card(A) ≤ Card(B) y Card(B) ≤ Card(C) ⇔ Card(A) ≤ Card(C).

Conjuntos Equipotentes

Dos conjuntos tienen el mismo cardinal (Card(A) = Card(B)) si se puede establecer una aplicación biyectiva entre ellos. Por ejemplo, el conjunto de vocales y el conjunto de dígitos en base 5 tienen el mismo cardinal, ya que se puede establecer una aplicación biyectiva entre ellos.

Dos conjuntos A y B son equipotentes si tienen el mismo cardinal (Card(A) = Card(B)), es decir, si se puede establecer una aplicación biyectiva entre ellos. Si A y B son equipotentes, se escribe A ≈ B.

La relación de equipotencia entre conjuntos es una relación de equivalencia, ya que cumple las siguientes propiedades:

• Reflexiva: A ≈ A.
• Simétrica: Si A ≈ B, entonces B ≈ A.
• Transitiva: Si A ≈ B y B ≈ C, entonces A ≈ C.

Cardinales Infinitos

El infinito designa un proceso que no tiene fin. Consideremos el conjunto de los números naturales (N) y el conjunto de los números pares (A):

N = {1, 2, 3, n, ...}

A = {2, 4, 6, ..., 2n, ...}

Por lo tanto: A ⊂ N y A ≠ N. Sin embargo, se puede establecer una aplicación biyectiva entre estos dos conjuntos. Por lo tanto, los dos conjuntos son equipotentes: Card(A) = Card(N) = ∞.

A partir de esta igualdad, se puede definir un conjunto infinito (Card(X) = ∞) como aquel en el que existe una aplicación biyectiva entre X y algún subconjunto propio de X.