Conceptos Fundamentales en Econometría y Series de Tiempo

Fundamentos de Econometría y Modelos de Series de Tiempo

1. Matriz de Varianzas y Covarianzas sin Heteroscedasticidad

Una matriz que representa la ausencia de **heteroscedasticidad** en los errores de un modelo de regresión es una **matriz diagonal** donde todos los elementos de la diagonal son iguales (varianza constante) y los elementos fuera de la diagonal son cero (ausencia de correlación serial). En este contexto, se refiere a una matriz con elementos 0 y 0 al cuadrado en la diagonal, implicando varianzas constantes.

2. Ausencia de Correlación Serial

De manera similar al punto anterior, la ausencia de **correlación serial** en los errores se representa con una **matriz diagonal** de varianzas y covarianzas, donde los elementos fuera de la diagonal son cero, indicando que las covarianzas entre los errores de diferentes periodos son nulas.

3. Matriz con Correlación Serial y Heteroscedasticidad

Cuando existe **correlación serial** y **heteroscedasticidad**, la matriz de varianzas y covarianzas de los errores es una **matriz no diagonal**. Los elementos de la diagonal son **desiguales a cero** y **no constantes** (indicando heteroscedasticidad), y los elementos fuera de la diagonal son también **desiguales a cero** (indicando correlación serial).

4. Insesgadez de los Estimadores en Presencia de Problemas

¿Serían los estimadores β insesgados? ¿Por qué?

En presencia de **heteroscedasticidad** o **autocorrelación en los errores**, los estimadores de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) **siguen siendo insesgados**, pero **pierden eficiencia**. Es decir, sus varianzas no son las mínimas posibles, lo que afecta la validez de las pruebas de hipótesis. La afirmación de que la autocorrelación entre las variables (entre las X) afecta la insesgadez es incorrecta en el contexto de MCO estándar; la multicolinealidad (correlación entre X) no causa sesgo, sino ineficiencia.

5. Confiabilidad de los Estadísticos t y F

¿Serían los estadísticos confiables? ¿Por qué?

No, la **heteroscedasticidad** indica que la **varianza de los errores no es constante** a lo largo de la población. Por lo tanto, los **estadísticos t y F no pueden considerarse confiables**, ya que sus cálculos se basan en varianzas de los estimadores que son incorrectas. Esto lleva a inferencias estadísticas erróneas (intervalos de confianza incorrectos y p-valores inválidos).

6. Interpretación de la Significancia Estadística (p-valores)

Supón que se estima una regresión y solo se reportan los **valores de probabilidad (p-valores)** para los coeficientes (ej. LOG(INGRESO)).

• Un coeficiente es **significativo al 5%** si su p-valor es **menor o igual a 0.05**.
• Un coeficiente es **significativo al 10%** si su p-valor es **menor o igual a 0.10** (pero mayor a 0.05 si no es significativo al 5%).

La **significancia estadística** se basa en la comparación del p-valor con el nivel de significancia elegido. Un p-valor bajo indica fuerte evidencia contra la hipótesis nula (generalmente que el coeficiente es cero).

7. Relación entre Coeficiente, Error Estándar y Estadístico t

A continuación, se describen las relaciones fundamentales entre el coeficiente estimado, su error estándar y el estadístico t:

• Coeficiente / Estadístico t: Esta relación no es estándar. Generalmente, el estadístico t se calcula como **Coeficiente / Error Estándar**.
• Coeficiente / Error Estándar: Esto es la definición del **estadístico t**.
• Estadístico t * Error Estándar: Esto es igual al **Coeficiente**.

Ejemplo: Si el coeficiente para LOG INVERSIÓN no es significativo, significa que su p-valor asociado es alto (mayor que el nivel de significancia elegido), o que su estadístico t es bajo en valor absoluto.

8. Modelo de Corrección de Error (MCE)

Supón que deseas estimar un **Modelo de Corrección de Error (MCE)** entre las variables Yt, Xt, Zt, con Yt como variable dependiente. Un ejemplo de la ecuación que estimarías es:

ΔYt = α + λ(Yt-1 - β1Xt-1 - β2Zt-1) + Σ(i=1 to p)γiΔYt-i + Σ(j=0 to q)δjΔXt-j + Σ(k=0 to r)φkΔZt-k + εt

Donde:

• Δ representa la primera diferencia (ΔYt = Yt - Yt-1).
• α es la constante.
• λ es el **coeficiente de corrección de error**, que mide la velocidad a la que el sistema se ajusta al equilibrio de largo plazo. Debe ser negativo y significativo.
• (Yt-1 - β1Xt-1 - β2Zt-1) es el **término de corrección de error (TCE)**, que representa la desviación del equilibrio de largo plazo en el período anterior.
• ΣγiΔYt-i, ΣδjΔXt-j, ΣφkΔZt-k representan los efectos de corto plazo de las variables en diferencias.
• εt es el término de error.

La ecuación que proporcionaste (Ayt=M+ayt-1+B1xt-1+B2Zt-2+X1Ayt-1+XA2yt-2+XnAyt-n+/0Axt+/1Axt-1+/2Axt-2+/nAxt-n+S0Azt+S1Azt-1+S2Azt-2+SnAzt-n) es una representación válida de un modelo de corrección de error, aunque con una notación ligeramente diferente. En tu notación, a sería el coeficiente del término de corrección de error (si a es negativo y significativo), y B1, B2 serían los coeficientes de largo plazo de Xt y Zt respectivamente, si la ecuación se reescribe para identificar el TCE. Los términos con Δ (representados por A en tu notación) capturan la dinámica de corto plazo.

9. Cálculo de Elasticidades de Largo Plazo en un MCE

Tomando en cuenta la expresión que escribiste en el punto 8, las **elasticidades de largo plazo** se calcularían como:

• Elasticidad de largo plazo de Y con respecto a X: **B1 / (-a)** (si 'a' es el coeficiente del término de corrección de error, que debe ser negativo).
• Elasticidad de largo plazo de Y con respecto a Z: **B2 / (-a)**

Nota: En la notación estándar del MCE (ΔYt = α + λ(Yt-1 - β1Xt-1 - β2Zt-1) + ...), los coeficientes de largo plazo son directamente β1 y β2 del término de corrección de error. Si la ecuación se reescribe para aislar el TCE, entonces B1 y B2 serían los coeficientes de largo plazo, y a sería el coeficiente de ajuste. La división por a (o -a) es correcta si a es el coeficiente del término de corrección de error.

10. Resultados de Pruebas de Raíz Unitaria (ADF y PP)

Supón que realizas las pruebas de **Dickey-Fuller Aumentada (ADF)** y **Phillips-Perron (PP)** sobre 4 series: IPC, VALORES, PIB, INVERSIÓN. Los resultados obtenidos son:

• **Estacionarias en niveles (I(0))**: VALORES.
• **Estacionarias en primeras diferencias (I(1))**: PIB, INVERSIÓN.

11. Determinación del Orden de Integración

¿Cuál es el **orden de integración** de las series?

• **IPC**: No es estacionaria ni en niveles (I(0)) ni en primeras diferencias (I(1)). Esto sugiere que podría ser I(2) o tener una raíz unitaria con quiebre estructural.
• **VALORES**: **I(0)** (Estacionaria en niveles).
• **PIB**: **I(1)** (Estacionaria en primeras diferencias).
• **INVERSIÓN**: **I(1)** (Estacionaria en primeras diferencias).

12. Estacionariedad de Series de Inflación (El Salvador vs. EE. UU.)

En la siguiente gráfica se muestran las tasas de inflación de El Salvador y EE. UU. Con base en la gráfica, ¿son las series estacionarias o no estacionarias?

• La **inflación de EE. UU.** se puede deducir que es **estacionaria** porque no presenta una **tendencia clara** (ni determinística ni estocástica) y parece fluctuar alrededor de una media constante.
• La **inflación de El Salvador** sí presenta una **tendencia**, lo que sugiere que **no es estacionaria**.

13. Diagnóstico y Solución de Problemas en un MCE

Supón que corres un **Modelo de Corrección de Error (MCE)** y realizas las pruebas de **correlación serial** y **heteroscedasticidad**. Los resultados son los siguientes:

• Correlación Serial: La `Prob F` es mayor a 0.05. Por lo tanto, **no hay evidencia de correlación serial** en los errores.
• Heteroscedasticidad: La `Prob F` es menor a 0.05. Por lo tanto, **sí hay evidencia de heteroscedasticidad** en los errores.

¿Cómo solucionarías el problema de heteroscedasticidad?

Se solucionaría utilizando el **Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios con Errores Estándar Robustos a la Heteroscedasticidad y Autocorrelación (HAC)**, como el método de **Newey-West**. Este método **modifica los errores estándar** de los estimadores, lo que a su vez **corrige los estadísticos t y F**, haciéndolos válidos para la inferencia estadística, sin necesidad de transformar la ecuación o los datos.