Conceptos Fundamentales Espacios Vectoriales Álgebra Lineal

Conceptos Fundamentales de Espacios Vectoriales

Espacio Vectorial

Un conjunto no vacío de vectores junto con dos operaciones: suma de vectores y producto de un escalar por un vector.

Subespacio Vectorial

Sea V un espacio vectorial sobre R. Un subconjunto no vacío U de V es un subespacio de V si U es un espacio vectorial con las mismas operaciones de suma y producto por escalares definidas en V.

Combinación Lineal

Sea V un espacio vectorial. Un vector u ∈ V es combinación lineal de los vectores v₁, v₂, ..., vn ∈ V si existen escalares λ₁, λ₂, ..., λn tales que:

u = λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λnvn

Subespacio Generado por un Conjunto de Vectores

Sea V un espacio vectorial y S = {v₁, v₂, ..., vn} un conjunto de vectores de V. El subespacio generado por v₁, v₂, ..., vn se denota por <v₁, v₂, ..., vn> o <S>. Los vectores v₁, v₂, ..., vn generan a <v₁, v₂, ..., vn>.

Conjunto Generador

Sea V un espacio vectorial y S = {u₁, u₂, ..., un} un subconjunto de vectores de V. Diremos que S es un conjunto generador de V si <S> = V, es decir, todo vector de V es combinación lineal de los vectores de S.

Independencia y Dependencia Lineal

Sea V un espacio vectorial. Un conjunto {u₁, u₂, ..., un} de vectores de V se dice linealmente independiente si la única solución de la ecuación vectorial:

λ₁u₁ + λ₂u₂ + ... + λnun = 0v

es λ₁ = λ₂ = ... = λn = 0.

En caso contrario, dicho conjunto se dice linealmente dependiente.

Base de un Espacio Vectorial

Sea V un espacio vectorial. Un conjunto B = {v₁, v₂, ..., vn} de vectores de V es una base de V si:

• B es linealmente independiente.
• B genera a V, es decir, todo vector de V se expresa como combinación lineal de v₁, v₂, ..., vn.

A los escalares λ₁, λ₂, ..., λn ∈ R se les llama coordenadas del vector u respecto a la base B y se denota como [u]B.

Base Canónica o Estándar

Base cuyo número de vectores coincide con la dimensión del propio espacio vectorial. Los módulos de los vectores suelen ser unitarios.

Ej: En R³, la base canónica es {i, j, k}, donde i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1).

Dimensión de un Espacio Vectorial

La dimensión de un espacio vectorial V de dimensión finita, denotada por dim(V), se define como el número de vectores que posee cualquier base de V. Se considera que el espacio vectorial {0} es de dimensión 0.

Ejs:

• dim(Rⁿ) = n
• dim(Pn(R)) = n + 1 (Polinomios de grado menor o igual a n)
• dim(Mn×m(R)) = n × m (Matrices de n filas y m columnas)