Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva: Medidas y Propiedades

Medidas de Tendencia Central

Media Aritmética (Promedio)

La **Media Aritmética** es la suma de todos los valores de la variable, dividida por el total de ellos (N).

Propiedades de la Media

• La suma de todas las desviaciones de las variables respecto a la media es **cero**.
• La suma de todos los cuadrados de las desviaciones de las variables respecto de un promedio es **mínima** siempre que dicho promedio sea la media.
• Si a cada valor se le suma o resta una constante, la media varía la misma cantidad que la constante.
• Si cada variable se multiplica o divide por una constante, la media queda multiplicada o dividida por la constante.

Mediana

Una vez ordenados los datos, la **Mediana** es el valor de la variable que supera al 50% de los datos y es superada por el otro 50%.

• La suma en valor absoluto de las desviaciones de la variable respecto a la mediana es **mínima**.

Moda

La **Moda** es el valor de la variable que más se repite.

Media Geométrica

La **Media Geométrica** es la raíz $n$-ésima del producto de los $n$ valores de la tabla.

Media Armónica

Es el recíproco de la media aritmética de la suma de los valores recíprocos de la variable.

Medidas de Posición y Dispersión

Medidas de Posición

Son aquellas que marcan la posición de un dato dentro de un conjunto. Incluyen:

• **Cuartiles**
• **Quintiles**
• **Deciles**
• **Percentiles**

Medidas de Dispersión

Miden la variabilidad de los datos respecto a una medida central.

• **Rango (L)**
• **Desviación Media**: Es el promedio de la suma en valor absoluto de las desviaciones de la variable respecto a la media.
• **Desviación Mediana**: Similar a la desviación media, pero las desviaciones se calculan respecto a la mediana.

Varianza y Desviación Estándar

Varianza

La **Varianza** es la media aritmética de la suma de los cuadrados de las desviaciones de las variables respecto a la media.

Propiedades de la Varianza

• Es siempre **positiva**.
• La varianza de una constante es **cero**.
• Si a cada variable se le suma o resta una constante, la varianza **no cambia**.
• Si cada variable se multiplica o divide por una constante ($c$), la varianza es igual a la constante al cuadrado ($c^2$) multiplicada por la varianza original.

Desviación Típica o Estándar

Es la **raíz cuadrada** de la varianza.

Medidas de Forma

Asimetría

La **Asimetría** es una medida de forma que permite identificar y describir cómo los datos tienden a reunirse de acuerdo con su frecuencia.

Curtosis

La **Curtosis** mide el grado de agudeza (apuntamiento) de una distribución respecto de la distribución normal.

Clasificación de la Curtosis (Coeficiente K)

En una distribución normal, el coeficiente de curtosis vale $0.263$:

• Si $K = 0.263$: Distribución **Normal** o *Mesocúrtica*.
• Si $K > 0.263$: Distribución *Leptocúrtica* (más apuntada).
• Si $K < 0.263$: Distribución *Platicúrtica* (más aplanada).

Representación Gráfica

Diagrama de Caja (Box Plot)

El **Diagrama de Caja** es una herramienta gráfica utilizada para visualizar la distribución de un conjunto de datos a través de sus cuartiles.