Conceptos Fundamentales de Funciones y Cálculo: Una Introducción Esencial

Definición de Función y Variables

Una función es una relación entre dos magnitudes de manera que cada valor de la primera corresponde, como máximo, a un único valor de la segunda, que llamamos imagen.

Variables Clave en una Función

• Variable independiente (x): Es aquella cuyo valor se fija previamente.
• Variable dependiente (y): Es aquella cuyo valor se deduce a partir de la variable independiente.

Dominio y Recorrido de una Función

• El Dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles que toma la variable independiente. Se representa por D(f).
• El Recorrido (o Rango) de una función es el conjunto de todos los valores posibles que toma la variable dependiente. Se representa por R(f).

Extremos de una Función: Máximos y Mínimos

Extremos Relativos

• Una función f tiene un máximo relativo en x=a si existe un entorno del punto a en donde la función toma valores menores o iguales a f(a).
• Una función f tiene un mínimo relativo en x=a si existe un entorno del punto a en donde la función toma valores mayores o iguales a f(a).

Extremos Absolutos

• Una función f tiene un máximo absoluto en x=a si f(a) es mayor o igual que el valor de f(x) en cualquier otro punto del dominio.
• Una función f tiene un mínimo absoluto en x=a si f(a) es menor o igual que el valor de f(x) en cualquier otro punto del dominio.

Función de Proporcionalidad Inversa

En general, una función de la forma f(x) = k/x se llama función de proporcionalidad inversa. La gráfica de esta función se denomina hipérbola.

Propiedades Clave

• Su dominio y su recorrido comprenden todos los números reales excepto el cero (x ≠ 0, y ≠ 0).
• Es continua en todos los valores de su dominio.
• Es simétrica respecto al origen de coordenadas.
• Si k > 0, la función es decreciente.
• Si k < 0, la función es creciente.

Funciones Exponenciales

Las funciones de la forma y = a^x, con a > 1, tienen las siguientes propiedades:

• Dominio: Todos los números reales (D(f) = ℝ).
• Recorrido: Todos los números reales positivos (R(f) = ℝ⁺).
• Son crecientes y continuas en todo su dominio.
• Sus gráficas pasan por los puntos (0,1) y (1,a).
• Cuando los valores de x tienden a -∞, los valores de y tienden a 0.
• Cuando los valores de x tienden a +∞, los valores de y tienden a +∞.

El Número e: Una Constante Fundamental

El número e es el valor al que tiende la sucesión (1 + 1/n)^n cuando n tiende a +∞. Este número es irracional y sus primeras cifras son 2.7182...

La Ley del Interés Compuesto

La ley del interés compuesto es una ley de capitalización por la cual los intereses obtenidos al final de cada periodo se acumulan al capital anterior para producir nuevos intereses en el siguiente periodo.

Fórmula del Interés Compuesto

Un capital inicial de C₀ euros, invertido a un tipo de interés anual del r%, al cabo de t años, se convierte en un capital final C_t, según la fórmula:

C_t = C₀(1 + i)^t

Donde i = r/100 (el tipo de interés expresado en tanto por uno).