Conceptos Fundamentales de Funciones, Límites y Derivadas en Cálculo

Funciones Matemáticas Esenciales: Conceptos y Aplicaciones

Este documento resume los conceptos clave y métodos de cálculo para diversas funciones matemáticas, límites y derivadas, fundamentales en el estudio del cálculo.

Tipos de Funciones y su Cálculo

• Función Raíz

  Para calcular una función raíz, se utiliza una tabla de valores.

• Función Valor Absoluto

  Se calcula el vértice utilizando la fórmula -b/2a. Luego, se calcula f(x0) para obtener la coordenada y, lo que proporciona las dos coordenadas del vértice. Posteriormente, se elabora una tabla de valores.

• Función Cuadrática

  Primero, se calcula el vértice. Luego, se construye una tabla de valores con dos valores a cada lado del vértice y a la misma distancia de este.

• Función Parte Entera

  Define el menor número entero más próximo a x o igual a x.

• Hipérbolas

  Se presentan como un cociente de polinomios de primer grado. Para su representación, se utiliza una tabla de valores.

• Función Exponencial

  Se elabora una tabla de valores. Si la base es mayor que uno, la función crece; si la base está entre cero y uno, la función decrece.

• Función Logarítmica

  Se construye una tabla de valores. Para encontrar x, se utiliza la relación logbx = y, que implica by = x. Por ejemplo, si log3x = 2, entonces 32 = x, lo que significa x = 9.

Función Inversa

Para hallar la función inversa f-1(x):

1. Se renombra f(x) como y.
2. Se despeja x de la ecuación resultante.
3. Se comprueba el resultado: si al sustituir f(f-1(x)) o f-1(f(x)) se obtiene x, la función inversa es correcta.

Límites

Límites Puntuales

Para calcular un límite puntual, se sustituye x por el valor dado. Pueden presentarse los siguientes casos:

• Si el resultado es un número finito, el límite existe.
• Si el resultado es k/0 (donde k ≠ 0), se estudian los límites laterales para determinar si existe una discontinuidad asintótica (tiende a infinito).
• Si el resultado es 0/0, es una indeterminación. Para resolverla, se debe descomponer la expresión hasta que ya no dé 0/0. Esto se puede lograr mediante:
  • Factorización de polinomios (por ejemplo, usando la fórmula de la ecuación de segundo grado y cambiando el signo de las raíces para obtener los factores, como (x - 3)).
  • Uso del conjugado.
  • Racionalización.

  Este tipo de indeterminación puede indicar una discontinuidad evitable (o de salto, si los límites laterales son diferentes).

Límites al Infinito

Límites de Polinomios

El límite de un polinomio cuando x tiende a infinito se determina por el signo del coeficiente de la máxima potencia y el grado (par o impar) de la máxima potencia.

Límites de Cocientes de Polinomios

Para un cociente de polinomios P(x)/Q(x) cuando x tiende a infinito:

• Si el grado del denominador es igual al grado del numerador, el límite es el cociente de los coeficientes de las máximas potencias.
• Si el grado del denominador es mayor, el límite es 0.
• Si el grado del numerador es mayor, el límite es ±∞. Se analizan los grados y los coeficientes de las máximas potencias para determinar el signo.

Límites de Exponenciales

Para una base a:

• Si a > 1:
  • a+∞ = +∞
  • a-∞ = 0
• Si 0 < a < 1:
  • a+∞ = 0
  • a-∞ = +∞

Derivadas

¡Las potencias siempre se derivan primero!

Reglas de Derivación Básicas

• Suma y Resta: Se derivan ambos términos por separado.
• Funciones Trigonométricas:
  • sen(x) → cos(x)
  • cos(x) → -sen(x)
  • tan(x) → 1 + tan2(x) o sec2(x)
• Funciones Exponenciales:
  • ex → ex
  • ax → ax ln(a)
• Función Logarítmica Natural:
  • ln(x) → 1/x

Reglas de Derivación Compuestas

• Multiplicación (Regla del Producto):

  (f · g)' = f' · g + f · g'

  La primera función derivada por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar por la segunda derivada.

• División (Regla del Cociente):

  (f / g)' = (f' · g - f · g') / g2

  El numerador derivado por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por el denominador derivado, todo dividido por el denominador al cuadrado.

Estudio de Continuidad en Funciones Definidas a Trozos

Para estudiar la continuidad de una función definida a trozos en un punto x = a:

1. Primero, se calcula f(a) sustituyendo a en la expresión de la función donde x es igual a a.
2. Luego, se estudian los límites laterales: el límite cuando x tiende a a por la izquierda y por la derecha, utilizando las expresiones correspondientes de la función.
3. Finalmente, se igualan f(a) y los límites laterales. Si f(a) = limx→a- f(x) = limx→a+ f(x), la función es continua en ese punto.