Conceptos Fundamentales de Funciones Matemáticas: Tipos y Características Clave

Funciones Definidas a Trozos

Las funciones definidas a trozos (o por partes) son aquellas cuya expresión cambia según el intervalo del dominio en el que se encuentre la variable independiente. Los puntos de discontinuidad o los extremos de los intervalos se representan con un círculo abierto cuando el valor no está incluido en el dominio (por ejemplo, en desigualdades estrictas como '<' o '>', o en el infinito).

Características Generales de las Funciones

Dominio de una Función

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles que la variable independiente (generalmente x) puede tomar. Se calcula en el eje de las abscisas (eje X).

• Se utilizan corchetes abiertos ( ) para indicar intervalos que no incluyen los extremos, como en el infinito (-∞, +∞) o en puntos de discontinuidad.
• Se utilizan corchetes cerrados [ ] cuando los extremos están incluidos en el dominio.

Imagen (Rango) de una Función

La imagen (o rango) de una función es el conjunto de todos los valores que la variable dependiente (generalmente y o f(x)) puede tomar. Se calcula en el eje de las ordenadas (eje Y) y su notación es similar a la del dominio.

Puntos de Corte con los Ejes

Los puntos de corte son las intersecciones de la gráfica de la función con los ejes coordenados:

• Corte con el eje X (abscisas): Se obtiene cuando y = 0. Los puntos tienen la forma (a, 0).
• Corte con el eje Y (ordenadas): Se obtiene cuando x = 0. Los puntos tienen la forma (0, b).

Continuidad de una Función

La continuidad de una función se refiere a si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz. Se describe indicando los intervalos donde la función es continua.

Crecimiento, Decrecimiento y Constancia

Estos conceptos describen el comportamiento de la función a medida que aumenta el valor de x:

• Crecimiento: Intervalos donde la función aumenta su valor.
• Decrecimiento: Intervalos donde la función disminuye su valor.
• Constancia: Intervalos donde la función mantiene un valor constante (línea horizontal).

Máximos y Mínimos Relativos

Los máximos y mínimos relativos (o locales) son puntos donde la función cambia su tendencia:

• Máximos Relativos: Puntos donde la función cambia de ser creciente a decreciente.
• Mínimos Relativos: Puntos donde la función cambia de ser decreciente a creciente.

Se expresan como coordenadas (x, y).

Periodicidad

Una función es periódica si su gráfica se repite a intervalos regulares. El período es la longitud del intervalo más pequeño en el que la función se repite.

Simetría

La simetría se refiere a si la gráfica de una función es simétrica respecto al eje Y (función par) o respecto al origen (función impar).

Tipos de Funciones

Funciones Polinómicas

Las funciones polinómicas son aquellas cuya expresión es un polinomio. Su dominio es el conjunto de todos los números reales (ℝ).

Funciones Racionales

Las funciones racionales son aquellas que pueden expresarse como el cociente de dos polinomios. Su dominio incluye todos los números reales, excepto aquellos valores que anulan el denominador.

Ejemplo: f(x) = 1/x. Dominio: ℝ - {0}.

Funciones Irracionales

Las funciones irracionales son aquellas en las que la variable independiente se encuentra bajo un signo radical.

Índice Par

Si el índice de la raíz es par (ej. raíz cuadrada, raíz cuarta), el radicando (expresión dentro de la raíz) debe ser mayor o igual que cero para que la función esté definida en los números reales.

Índice Impar

Si el índice de la raíz es impar (ej. raíz cúbica, raíz quinta), el dominio de la función es el mismo que el dominio del radicando, ya que la raíz de un número negativo está definida en los números reales.

Ejemplo: Dom(f(x) = ⁵√(x-2)) = ℝ.

Funciones Polinómicas Específicas

Funciones Polinómicas de Primer Grado (Lineales)

Las funciones polinómicas de primer grado son de la forma f(x) = mx + n.

• Su gráfica es una línea recta, donde m es la pendiente (inclinación) y n es la ordenada en el origen (punto de corte con el eje Y).
• Para representar una función lineal, solo se necesitan dos puntos.
• Su comportamiento de crecimiento o decrecimiento se determina por la pendiente m:
  • Si m > 0, la función es creciente.
  • Si m < 0, la función es decreciente.
• Estas funciones son siempre continuas en todo su dominio (ℝ).

Funciones Polinómicas de Segundo Grado (Cuadráticas)

Las funciones polinómicas de segundo grado son funciones cuya expresión es de la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a ≠ 0.

• Su gráfica es una curva simétrica con dos ramas, una creciente y otra decreciente, denominada parábola.
• Las funciones polinómicas de segundo grado son continuas en todo su dominio (ℝ).

Una parábola posee elementos y características clave:

• Vértice: Es el punto donde la función cambia su comportamiento de crecimiento a decrecimiento, o viceversa. Representa el máximo o mínimo absoluto de la parábola.
• Eje de Simetría: Es una recta vertical que pasa por el vértice y divide la parábola en dos partes simétricas.

La orientación de la parábola depende del coeficiente a:

• Si a > 0, las ramas de la parábola se abren hacia arriba.
• Si a < 0, las ramas de la parábola se abren hacia abajo.

Además, cuanto mayor sea el valor absoluto de a (|a|), más cerradas estarán las ramas de la parábola.