Conceptos Fundamentales de Geometría y Álgebra Lineal
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Posiciones Relativas de Planos
Dos Planos
Planos coincidentes: rg = rg* = 1.
Planos paralelos: rg = 1, rg* = 2.
Planos secantes: rg = rg* = 2.
Tres Planos
Planos coincidentes: rg = rg* = 1.
rg = 1, rg* = 2 o 3: Paralelos (tres planos paralelos) o dos coincidentes y uno paralelo.
rg = rg* = 2: Dos planos coincidentes y otro que los corta en una recta.
rg = 2, rg* = 3: Tres planos secantes que se cortan en una recta (forman un haz de planos) o planos que forman un prisma (dos planos paralelos y otro que los corta).
rg = rg* = 3: Triedro (los tres planos se cortan en un punto).
Posiciones Relativas de Rectas
Dos Rectas
Paralelas: rg = 1, rg* = 2.
Coincidentes: rg = rg* = 1.
Secantes: rg = rg* = 2.
Que se cruzan: rg = 2, rg* = 3.
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Teorema de Rouché-Frobenius
Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si el rango de la matriz de los coeficientes de las incógnitas (A) es igual al rango de la matriz ampliada con la columna de los términos independientes (A*). Recíprocamente, si es compatible, los rangos son iguales.
Regla de Cramer
Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de Cramer si cumple las siguientes condiciones:
- Tiene n ecuaciones y n incógnitas.
- El determinante de la matriz de los coeficientes del sistema es distinto de cero (det(A) ≠ 0).
Ángulos
Ángulo entre Dos Rectas
El ángulo entre dos rectas r y s que se cortan es el menor de los ángulos que forman en el plano que determinan.
El ángulo entre dos rectas r y s que se cruzan se define como el ángulo formado por dos rectas secantes paralelas a las dadas.
Ángulo entre Dos Planos
El ángulo entre dos planos secantes es el menor de los ángulos diedros que determinan.
Ángulo entre Recta y Plano
El ángulo entre una recta r y un plano es igual al ángulo que forma la recta r con la recta r´, que es la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano.
Proyecciones Ortogonales
Proyección Ortogonal de un Punto sobre un Plano
La proyección ortogonal de un punto P sobre un plano π es el punto P´ que se obtiene como intersección de la recta r perpendicular a π que pasa por P con el plano π.
Proyección Ortogonal de una Recta sobre un Plano
La proyección ortogonal de una recta r sobre un plano π se llama proyección a la recta r´ que se obtiene como intersección del plano π´ perpendicular a π que pasa por r con el plano π.
Distancias
Distancia de un Punto a un Plano
La distancia de un punto P al plano π es la longitud del segmento perpendicular desde P al plano.
Distancia entre Dos Rectas que se Cruzan
La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la existente entre el plano paralelo a s que pasa por r y el plano paralelo a r que pasa por s.
Perpendicular Común a Dos Rectas que se Cruzan
Se llama perpendicular común de dos rectas cruzadas a la recta que corta ortogonalmente a cada una de ellas.