Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Distancias

Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica

Representación de Vectores y Rectas

Vector de dos coordenadas: $(1, -1)$ y $(2, -2)$.

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación Vectorial: $(x, y) = (p_1, p_2) + t(d_1, d_2)$
• Ecuación Paramétrica:
  • $x = p_1 + t(d_1)$
  • $y = p_2 + t(d_2)$

Formas de la Ecuación de la Recta

• Ecuación General (Implícita): $Ax + By + C = 0 \rightarrow$ Vector director $\vec{d} = (-B, A)$
• Ecuación Explícita: $y = mx + n \rightarrow m$ es la pendiente.
• Ecuación Punto-Pendiente: $y = y_0 + m(x - x_0)$

Relaciones entre Rectas

Condiciones de Paralelismo

Dos rectas son paralelas si:

1. Sus vectores directores son proporcionales: $\vec{d}_r = \lambda \cdot \vec{d}_s$ (o $d_r \propto d_s$).
2. Tienen la misma pendiente: $m_r = m_s$.

Condiciones de Perpendicularidad

Dos rectas son perpendiculares si:

1. Sus vectores directores son ortogonales (su producto escalar es cero): $\vec{d}_r \cdot \vec{d}_s = 0$.
2. El producto de sus pendientes es igual a $-1$: $m_r \cdot m_s = -1$.

Cálculo de Ángulos y Distancias

Ángulo que forman dos rectas

El ángulo $\theta$ entre dos rectas se puede determinar usando sus vectores directores o sus pendientes.

Nota: El ángulo $\theta$ se calcula generalmente usando el arco coseno del producto escalar normalizado de los vectores directores.

Distancia entre dos puntos

Distancia de un punto a una recta

Existen dos métodos principales para calcular la distancia $d(P, r)$:

1. Método Geométrico (Sin fórmula directa)

1. Calcular la recta perpendicular ($r^{\perp}$) a la recta dada ($r$) que pasa por el punto $P$. (Se determina la pendiente perpendicular y se usa la ecuación punto-pendiente con $P$).
2. Calcular el punto de corte entre $r$ y $r^{\perp}$. Este punto se denomina Pie de la Perpendicular (sea $Q$). (Se resuelve el sistema de ecuaciones de ambas rectas).
3. Calcular la distancia entre el punto original $P$ y el punto de corte $Q$: $d(P, Q)$. Esta es la solución.

2. Método Analítico (Con fórmula)

Distancia entre dos rectas paralelas

Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas ($r_1$ y $r_2$):

1. Se elige un punto cualquiera de una de las rectas (ej. $P \in r_1$).
2. Se calcula la distancia de ese punto $P$ a la otra recta ($r_2$) utilizando la fórmula de Punto a Recta.

Aplicaciones en Triángulos y Simetría

Altura de un triángulo

Para hallar la altura relativa a un lado (ej. altura desde $B$ al lado $AC$):

1. Calcular la pendiente del lado $AC$: $m_{AC} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
2. Calcular la pendiente de la recta perpendicular a $AC$: $m_{\text{perp}} = -1/m_{AC}$.
3. La altura es el segmento que pasa por el vértice opuesto ($B$) con pendiente $m_{\text{perp}}$. Se sustituye en la ecuación $y = mx + n$ usando el punto $B$ para hallar $n$ y definir la recta altura.

Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento $AB$ es la recta perpendicular a $AB$ que pasa por su punto medio ($M$):

1. Calcular el punto medio $M$ de $AB$.
2. Calcular la pendiente de $AB$ ($m_{AB}$) y su pendiente perpendicular ($m_{\text{perp}}$).
3. Sustituir el punto medio $M$ y la pendiente $m_{\text{perp}}$ en la ecuación punto-pendiente: $y = y_0 + m(x - x_0)$.

Mediana de un triángulo

La mediana de un triángulo (ej. la que une el vértice $B$ con el lado opuesto $AC$):

1. Se calcula el punto medio ($M$) del lado opuesto ($AC$).
2. Se calcula la pendiente de la recta que une $B$ y $M$.
3. Se sustituye el punto $B$ (o $M$) y la pendiente calculada en la ecuación $y = mx + n$ para determinar la ecuación de la mediana.

Hallar el simétrico de un punto respecto de una recta

Para hallar el simétrico $A'$ de un punto $A$ respecto a una recta $r$:

1. Hallar la recta $r'$ que pasa por $A$ y es perpendicular a $r$. El vector director de $r'$ se obtiene a partir de la normal de $r$.
2. Resolver el sistema de ecuaciones entre $r$ y $r'$ para encontrar el punto medio ($M$) de $AA'$.
3. Usar la fórmula del punto medio, conociendo $A$ y $M$, para despejar las coordenadas de $A'$.