Conceptos Fundamentales: Interpolación Lineal, Cuadrática y Función Cuadrática con Método de Gauss

Interpolación Lineal: Conceptos y Aplicaciones

La interpolación lineal se realiza cuando se tienen dos puntos por los que pasa una función y se necesita calcular algún valor intermedio. Consiste en determinar la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos, a la que se denomina "función de interpolación". Posteriormente, se sustituyen en ella los valores que se soliciten.

Es importante destacar que si los valores solicitados quedan fuera del intervalo definido por los valores dados, entonces se trata de extrapolación lineal. Esta extrapolación solo será válida si el valor resultante es cercano a los datos originales, ya que su precisión disminuye considerablemente al alejarse de los puntos conocidos.

Función Cuadrática: Definición y Representación Gráfica

Una función cuadrática se define mediante un polinomio de segundo grado de la forma y = ax² + bx + c, siempre que el coeficiente a ≠ 0.

Características Principales:

• Dominio: El dominio de una función cuadrática es el conjunto de todos los números reales, es decir, Dom(f) = ℝ.
• Representación Gráfica: Se representan mediante parábolas.

Pasos para Representar Gráficamente una Parábola:

1. Orientación de las Ramas:

   Se observa el coeficiente a:

   • Si a > 0 (positivo), las ramas de la parábola se abrirán hacia arriba (forma de U).
   • Si a < 0 (negativo), las ramas de la parábola se abrirán hacia abajo (forma de ∩).

2. Cálculo de las Coordenadas del Vértice (V):

   • Coordenada x (x_v): Se calcula mediante la fórmula x_v = -b / (2a).
   • Coordenada y (y_v): Se sustituye el valor de x_v en la ecuación de la función: y_v = a(x_v)² + b(x_v) + c.

3. Determinación de los Cortes con los Ejes:

   • Corte con el eje x (Raíces): Se iguala y = 0 y se resuelve la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0. Puede haber dos, una o ninguna solución real.
   • Corte con el eje y: Se sustituye x = 0 en la función, obteniendo y = c.

4. Puntos Adicionales (si es necesario):

   Si no se tienen suficientes puntos para un trazado preciso, se pueden asignar valores adicionales a x (simétricos respecto a x_v) para obtener más puntos y mejorar la precisión de la gráfica.

Interpolación Cuadrática: Fundamentos y Resolución

Si se conocen tres puntos de una función, para calcular valores intermedios se utiliza la función de interpolación cuadrática. Esta se determina sustituyendo los tres puntos conocidos ((x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)) en la expresión general y = ax² + bx + c.

Esto generará un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas (a, b, c), el cual se resuelve comúnmente mediante el método de Gauss.

Método de Gauss para Sistemas Lineales

El método de Gauss consiste en transformar un sistema lineal de ecuaciones en un sistema escalonado equivalente. Un sistema escalonado es aquel donde cada ecuación sucesiva tiene al menos una incógnita menos que la anterior, facilitando su resolución por sustitución regresiva.

Para lograr un sistema escalonado, se realizan operaciones elementales entre las ecuaciones (sumas, restas, multiplicación por escalares), con el objetivo de eliminar incógnitas de forma progresiva. Este proceso es una extensión del método de reducción.

Tipos de Sistemas Lineales según su Solución:

1. Sistema Incompatible:

   Ocurre cuando, al intentar resolver un sistema, se obtiene una ecuación de la forma 0x + 0y + 0z = b, donde b ≠ 0. Esto indica que el sistema no tiene solución.

2. Sistema Compatible Indeterminado:

   Se presenta cuando, al resolver un sistema, una ecuación se reduce a la forma 0x + 0y + 0z = 0. Esta ecuación es trivial y se elimina, resultando en un sistema con más incógnitas que ecuaciones. Para su resolución, se expresan algunas incógnitas en función de las restantes (parámetros), lo que implica que el sistema tiene infinitas soluciones.