Conceptos Fundamentales de Logaritmos, Matemáticas Financieras y Polinomios

Logaritmos

Sea a un número real positivo y distinto de 1, y m un número real positivo. El logaritmo en base a del número m es el exponente al que hay que elevar a para obtener m.

log_a m = x ↔ a^x = m

Propiedades de los Logaritmos

• Logaritmo del producto: Es igual a la suma de los logaritmos.
  log_a (m · n) = log_a m + log_a n
• Demostración: log_a m = x → a^x = m; log_a n = y → a^y = n.
  ∫ log_a (m · n) = log_a (a^x · a^y) = log_a a^{(x + y)} = x + y = log_a m + log_a n.
• Logaritmo del cociente: Es igual a la diferencia de los logaritmos.
  log_a (m / n) = log_a m - log_a n
• Demostración: Se aplican los mismos pasos que en el producto, pero utilizando la resta de exponentes (-).
• Logaritmo de una potencia: Es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
  log_a m^α = α · log_a m
• Demostración: log_a m^α = x → a^x = m^α.
  ∫ log_a (m^α) = log_a (a^x)^α = log_a a^{(α · x)} = α · x = α · log_a m.

Porcentajes y Variaciones

Porcentaje: Es una relación entre dos magnitudes que expresa la cantidad de una de ellas en relación con 100 unidades de la otra.

• Aumento porcentual: Consiste en incrementar una cantidad en un porcentaje determinado.
  C · (1 + p / 100)
• Disminución porcentual:
  C · (1 - p / 100)
• Índice de variación: Es la cantidad en la que se transforma una unidad.
  1 ± p / 100
• Aumentos y disminuciones sucesivas (↑ y ↓): Es el producto de los índices de variación de cada uno de los pasos.
  C · (1 + a / 100) · (1 - b / 100) · (1 - c / 100)

Matemáticas Financieras

Índice Compuesto y Capitalización

Se aplica cuando los periodos de tiempo coinciden con los periodos de capitalización. El tipo de interés suele ser anual (%) y se denomina rédito (r).
r1% → 0,01

Capitalización Anual

• 1 año: C · (1 + r / 100)
• 2 años: C · (1 + r / 100)²
• n años: C · (1 + r / 100)ⁿ

Capitalización Mensual

Si el rédito es r%, entonces se aplica r / 12% mensual.

• 1 mes: C · (1 + r / 1200)
• 2 meses: C · (1 + r / 1200)²
• n meses: C · (1 + r / 1200)ⁿ
  (Nota: 1200 = 12 meses x 100%)

Capitalización Diaria

• 1 día: C · (1 + r / 36500)
• 2 días: C · (1 + r / 36500)²
• n días: C · (1 + r / 36500)ⁿ

Anualidades de Capitalización

A = cantidad fija que se entrega; N = número de años; r = tipo de interés (%) (rédito); i = tanto por 1 anual.

Capital Final (CF): CF = A · (1 + i) · [ (1 + i)ⁿ - 1 ] / i

Para poder despejar n, utilizamos logaritmos:
x + 1 = yⁿ → log x = log yⁿ

Para periodicidad menor a 1 año: Se utiliza la misma fórmula, pero ajustando el interés (i / t) y el tiempo (n · t).

Anualidad de Amortización

C = capital prestado; r = rédito (%); i = tanto por 1; n = número de años; A = anualidad de amortización.

Fórmula: A = C · [ i · (1 + i)ⁿ ] / [ (1 + i)ⁿ - 1 ]

Con periodicidad menor a 1 año: Se aplica la misma fórmula ajustando el interés (i / t) y el tiempo (n · t).

Expresiones Algebraicas y Polinomios

Expresión algebraica: Es una combinación de números y letras unidos por operaciones aritméticas.

Polinomio: Es la suma de varios monomios, denominados términos.

• Valor numérico: El valor de un polinomio para x = α es el número que se obtiene al calcular la expresión numérica resultante.
• Raíz: Un número real α es raíz del polinomio P(x) si P(α) = 0.

División de Polinomios

Consiste en calcular otros dos polinomios: C(x) (cociente) y R(x) (resto), que verifiquen:

1. P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)
2. Grado de R(x) < Grado de Q(x)

Teorema del Resto

El resto de dividir un polinomio P(x) entre (x - a) es el valor numérico de P(x) cuando x = a.

Demostración:
P(x) = (x - a) · C(x) + R.
Sustituyendo x = a → P(a) = (a - a) · C(a) + R = 0 · C(a) + R = R.
Por lo tanto, R = P(a).

Consecuencias:

• Si P(a) = 0, la división es exacta y (x - a) es un factor de P(x).
• Si α es raíz del polinomio P(x), entonces el binomio (x - α) es un factor de dicho polinomio.

Factorización de Polinomios

Factorizar es escribir un polinomio como producto de factores del menor grado posible.

• Primer grado: Son irreducibles.
• Segundo grado: Sus raíces se obtienen mediante la fórmula ax² + bx + c = 0.
• Grado superior: Sus raíces enteras son divisores del término independiente. Se buscan estos divisores y se aplica la regla de Ruffini.