Conceptos Fundamentales de Macroeconomía y Finanzas Cuantitativas

Crecimiento Económico y la Regla del 70

El crecimiento del PIB real (G) se calcula como:

G = (Y_t / Y₀)^1/t - 1

La Regla del 70 es una fórmula sencilla para estimar el tiempo (T) que tarda una variable en duplicarse, dado un crecimiento anual constante (g, expresado en porcentaje):

T = 70 / g

Ejemplo de Aplicación de la Regla del 70

Calcular el crecimiento después de 90 años con tasas anuales del 2,5% y 3%:

• Para una tasa del 2,5% anual:
  • Tiempo de duplicación: (70 / 2,5) = 28 años
  • Número de duplicaciones en 90 años: (90 / 28) = 3,214
• Para una tasa del 3% anual:
  • Tiempo de duplicación: (70 / 3) = 23,33 años
  • Número de duplicaciones en 90 años: (90 / 23,33) = 3,85

Si la riqueza inicial se duplica con cada ciclo, el valor final (Y₉₀) sería:

• Y₉₀ (A, con 2,5%) = (2)^3,214
• Y₉₀ (B, con 3%) = (2)^3,85

La diferencia de riqueza entre los dos escenarios después de 90 años sería:

(2)^3,85 / (2)^3,214 = 1,56 (aproximadamente, la riqueza sería 1,56 veces mayor en el escenario B).

Restricción Presupuestaria Intertemporal

La restricción presupuestaria describe las combinaciones de bienes y servicios que un consumidor puede permitirse, dadas sus rentas y los precios.

• En t=1: Y₁ = C₁ + S ⇒ S = Y₁ – C₁
• En t=2: Y₂ + S(1 + r) = C₂
• En t=3: C₃ = (Y₃ – T₃) + S₂(1 + r)

Combinando las ecuaciones para dos periodos, la restricción presupuestaria intertemporal es:

Y₂ + (Y₁ – C₁)(1 + r) = C₂

Ejemplo de Restricción Presupuestaria

C₂ = 3.000(1 + r) + 5.000 – (1 + r)C₁

Si el individuo se endeuda por 1.000, entonces S = -1.000 (este valor se sustituiría en las ecuaciones).

Valor Presente y Valor Futuro

El Valor Presente (VP) y el Valor Futuro (VF) son conceptos fundamentales en finanzas para comparar flujos de dinero en diferentes momentos del tiempo.

• Valor Presente de la Renta:
  VP(Renta) = Y₁ + (Y₂ / (1 + r)) = 3.000 + 5.000 / 1,06
• Valor Futuro del Consumo:
  VF(Consumo) = Y₁(1 + r) + Y₂ = 3.000(1 + 0,025) + 5.000

Para determinar el valor de consumo cuando C₁ = C₂, se igualan las expresiones de consumo en valor presente o futuro.

Fórmulas Generales de Valoración

• Valor Actual (VA) a partir del Valor Futuro (VF):
  VA = VF / (1 + r)ⁿ
• Valor Actual (VA) de dos flujos de renta:
  VA = Y₁ + Y₂ / (1 + r)
• Valor Presente (VP) de una serie de impuestos (T):
  VP = T₁ + (T₂ / (1 + r)) + (T₃ / (1 + r)²)
• Valor Presente de la Renta Neta:
  VP (Renta Neta) = (Y₁ - T₁) + ((Y₂ - T₂) / (1 + r)) + ((Y₃ - T₃) / (1 + r)²)
• Valor Futuro (VF) a partir del Valor Actual (VA):
  VF = VA · (1 + r)ⁿ
• Valor Futuro (VF) de dos flujos de renta:
  VF = Y₁(1 + r) + Y₂
• Valor Futuro de la Renta Bruta:
  VF (Renta Bruta) = Y₁(1 + r)² + Y₂(1 + r) + Y₃

Criterios de Inversión: VAN y TIR

El Valor Actual Neto (VAN) y la Tasa Interna de Retorno (TIR) son herramientas clave para evaluar la rentabilidad de proyectos de inversión.

• Valor Actual Neto (VAN):
  VAN = Z₀ + (Z₁ / (1 + r)) + (Z₂ / (1 + r)²) + ...
• Tasa Interna de Retorno (TIR): Es el valor de 'r' (tasa de descuento) para el cual el VAN es igual a cero.
  0 = Z₀ + (Z₁ / (1 + r)) + (Z₂ / (1 + r)²) + ...

Ejemplo de Cálculo de VAN y TIR

• Si r = 0,05, el VP (Ingresos) de un proyecto sería:
  VP (Ingresos) = 5 / (1 + 0,05)⁵ + 2 / (1 + 0,05)¹⁰
• Para encontrar la TIR, se resuelve la ecuación para 'r' cuando el VAN es cero (asumiendo un coste inicial de 3):
  -3 + 5 / (1 + r)⁵ + 2 / (1 + r)¹⁰ = 0

Riesgo y Riqueza

La evaluación del riesgo implica considerar el rango de posibles resultados para el valor esperado de la riqueza.

Ejemplo de Intervalo de Confianza para la Riqueza

Considerando un rendimiento esperado (r) del 12% y una volatilidad del 5%:

• El Intervalo de Confianza del 95% (IC_95%) para el rendimiento es:
  IC_95% = (0,12 – 2 * 0,05, 0,12 + 2 * 0,05) = (0,12 – 0,10, 0,12 + 0,10) = (0,02, 0,22)
• Si la riqueza inicial es de 15.000 €, el valor de la riqueza en los extremos del intervalo sería:
  • Con r = 0,02: 15.000 * (1 + 0,02) = 15.300 €
  • Con r = 0,22: 15.000 * (1 + 0,22) = 18.300 €

Gasto Público y Finanzas Gubernamentales

La gestión del gasto público y los impuestos es crucial para la estabilidad fiscal de un país.

• Valor Presente del Gasto Público (VPG):
  VPG = G₁ + G₂ / (1 + r) + G₃ / (1 + r)²
• Valor Futuro del Gasto Público (VFG):
  VFG = G₁(1 + r)² + G₂(1 + r) + G₃

El valor de los impuestos recaudados en 3 periodos, considerando los intereses de la deuda (B, deuda pública):

• Periodo 1: G₁ = T₁ + B₁
• Periodo 2: G₂ + B₁(1 + r) = T₂ + B₂
• Periodo 3: T₃ = G₃ + B₂(1 + r)

Oferta y Demanda Monetaria

La oferta monetaria se refiere a la cantidad total de dinero disponible en una economía. La demanda monetaria es la cantidad de dinero que los agentes económicos desean mantener.

Componentes de la Oferta Monetaria

• M1 (Agregado monetario estrecho):
  M1 = E₀ + D₀ + E_v + D_d + D₁
• M2 (Agregado monetario más amplio):
  M2 = E + EV + EI + D₁ + D₂

Cálculo del Tipo de Interés de Equilibrio

El tipo de interés de equilibrio se determina cuando la oferta monetaria (M_S) es igual a la demanda monetaria (M_D).

M_S = M_D

Ejemplo:

500 = (150 - 500r) * 5

100 = 150 - 500r

50 = 500r

r = 0,1

Modelo Keynesiano y Multiplicadores

El modelo keynesiano explica cómo el gasto agregado determina el nivel de producción y empleo en una economía, especialmente a corto plazo con precios rígidos.

Cálculo del Aumento del PIB (Economía con Precios Rígidos a Corto Plazo)

El multiplicador del gasto público simple es:

Y = G / (1 - PMC)

Ejemplo:

Y = 15.000 / (1 - 0,75) = 15.000 / 0,25 = 60.000

El multiplicador del gasto autónomo con impuestos proporcionales es:

1 / (1 - PMC(1 - t))

El equilibrio en el modelo keynesiano (representado a menudo con la recta de 45 grados) se da cuando la producción (Y) es igual al gasto agregado (E):

Y = C + I + G + NX (donde E = Y)

El superávit o déficit presupuestario se calcula como:

G – T = G – 0,25Y

Mercado de Trabajo: Valor del Producto Marginal

El Valor del Producto Marginal del Trabajo (VPMgL) es el ingreso adicional que una empresa obtiene al emplear una unidad adicional de trabajo.

Si la función de producción es (40 - L) y el valor de la silla producida es 10 euros:

• VPMgL = (40 – 2L) * p = (40 – 2L) * 10 = 400 – 20L (dado que p = 10)
• La condición de equilibrio en el mercado laboral es que el VPMgL sea igual al salario (w):
  VPMgL = (40 – 2L) * p = w
• Si P = 10, entonces: 400 – 20L = w

Función de Demanda de Trabajo

Si el salario (w) = 20, la cantidad demandada de trabajo (L^d) es:

L^d(20) = 20 – (20/20) = 19 trabajadores

Mercados Financieros

Mercado de Fondos Prestables

Este mercado determina el tipo de interés real a largo plazo, donde los ahorradores ofrecen fondos y los inversores los demandan.

• Oferta Aumenta: La curva de la oferta se desplaza hacia la derecha. Los ahorradores están dispuestos a prestar más cantidad a un tipo de interés menor.
• Oferta Disminuye: La curva de la oferta se desplaza hacia la izquierda. Hay una bajada en la cantidad de fondos prestables, lo que significa menos fondos disponibles para prestar. Los ahorradores están dispuestos a prestar menos, lo que hace que suba el tipo de interés. Esto puede desincentivar la inversión.
• Demanda Aumenta: Hay más inversores en busca de dinero. El tipo de interés sube y la curva de la demanda se desplaza hacia la derecha.
• Demanda Disminuye: Hay menos inversores en busca de dinero. La curva se desplaza hacia la izquierda y el tipo de interés disminuye.

Mercado de Dinero

Este mercado determina el tipo de interés nominal a corto plazo.

• Si el tipo de interés sube, disminuye la cantidad demandada de Bienes y Servicios (ByS) y viceversa.
• Una bajada del tipo de interés (r) aumenta la Demanda Monetaria (MD).
• Si baja el nivel de precios, la demanda de dinero disminuye (lo que puede llevar a una bajada del tipo de interés). Una bajada del tipo de interés reduce el coste de los préstamos, lo que aumenta la demanda de préstamos y la demanda de inversión residencial de las familias (aumenta la inversión). Conclusión: Si baja 'r', aumenta la cantidad demandada de Bienes y Servicios (ByS).

Demanda Agregada (DA) y Oferta Agregada (OA)

El modelo DA-OA es fundamental para comprender las fluctuaciones económicas y la determinación del nivel de precios y producción.

• Demanda Agregada (DA): La curva de Demanda Agregada tiene una pendiente negativa, lo que significa que una bajada de precios se asocia con una mayor cantidad demandada de bienes y servicios (y viceversa).
• Oferta Agregada (OA): La curva de Oferta Agregada a corto plazo tiene una pendiente positiva, lo que significa que una subida de precios se asocia con una mayor cantidad ofrecida de bienes y servicios (y viceversa).