Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Conjuntos Numéricos, Proporciones y Geometría

Conjuntos Numéricos

Z (Números Enteros): Es un conjunto infinito donde cada número tiene un único antecesor y sucesor. Entre dos números enteros existe un conjunto finito de números enteros; por lo tanto, Z es un conjunto discreto. Cada número tiene un único punto en la recta numérica, pero no a todo punto le corresponde un número entero; es decir, Z no completa la recta.

Q (Números Racionales): Son aquellos que pueden escribirse como fracción. Entre dos números racionales existe un conjunto infinito (∞) de racionales.

I (Números Irracionales): No pueden escribirse como fracción; poseen infinitas cifras decimales no periódicas. Son infinitos; por ejemplo, π es un número irracional.

R (Números Reales): Es la unión de los racionales e irracionales (Q ∪ I = R). La jerarquía se establece como: Reales > Irracionales; Racionales > Fraccionarios no enteros; Enteros > Naturales (N): positivos, el cero {0} y negativos.

Intervalos Reales

Un intervalo es un conjunto de números reales cuya representación en la recta numérica puede ser: un segmento (cerrado, semiabierto o abierto), una semirrecta (cerrada o abierta en el origen), una recta o un conjunto formado por un solo punto.

• Intervalo cerrado: [a; b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
• Intervalo abierto: (a; b) = {x &in; R / a < x < b}
• Intervalo semiabierto: [a; b) = {x &in; R / a ≤ x < b}

Valor Absoluto y Ecuaciones Cuadráticas

Valor absoluto o Módulo: Representa la distancia al cero sobre la recta numérica. No toma valores negativos.

Ecuaciones Cuadráticas: Por ejemplo, en x² = 16, x puede ser 4 o -4. Por lo tanto, cuando aplicamos la raíz cuadrada, obtenemos el valor absoluto. La forma general es ax² + bx + c = 0 →

Inecuaciones con Módulo

Razones y Proporciones

Razón: Es el cociente entre dos números a y b (a:b), donde a es el antecedente y b es el consecuente. Cuando dos razones son iguales, forman una proporción:

En una proporción, a y d son los extremos, mientras que b y c son los medios.

Una proporción con medios iguales ( ) se denomina continua e intervienen tres números.

Serie de razones: Es la igualdad entre más de dos razones.

Geometría y Semejanza

Propiedad de las bisectrices: Se refiere a las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo.

Semejanza: Dos figuras geométricas son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño. Esto ocurre cuando sus ángulos son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.

• Razón de semejanza (k): k² corresponde a la razón de las áreas (a) y k³ a la razón de los volúmenes (v).

Criterios de Semejanza de Triángulos

• (LLL): Tres lados proporcionales.
• (AA): Dos pares de ángulos congruentes.
• (LAL): Dos pares de lados homólogos proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.

Criterio de Semejanza en Triángulos Rectángulos

• (LL): Dos lados proporcionales.
• (A): Un ángulo agudo congruente.

Trigonometría

SOHCAHTOA: Regla mnemotécnica para recordar las razones trigonométricas (Seno, Coseno y Tangente).

• Línea de mira: Línea imaginaria que une los ojos del observador con el objeto observado.
• Ángulo de depresión: Formado por la horizontal y la línea de mira, cuando el objeto está por debajo del observador.
• Ángulo de elevación: Formado por la horizontal y la línea de mira, cuando el objeto está por encima del observador.

Funciones y Sistemas de Ecuaciones

Función y Función Lineal

Sistemas de dos Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas