Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Geometría, Proporcionalidad y Operaciones con Fracciones

Aplicación de la Semejanza de Triángulos: Medición de Alturas con un Cartabón

Un cartabón es un instrumento de dibujo con ángulos de 30°, 60° y 90°. Para medir la altura de un edificio utilizando este método, se procede de la siguiente manera:

• Colocamos el cartabón de modo que la hipotenusa quede frente a nuestro ojo.
• Nos alejamos del edificio, caminando hacia atrás, hasta que podamos ver la parte superior de este mirando a través de la hipotenusa del cartabón.
• Medimos la distancia que hemos recorrido desde el punto inicial hasta esta posición.
• Dado que el edificio y el lado vertical del cartabón son paralelos, los triángulos que se forman son semejantes. Esto nos permite calcular la altura del edificio mediante la proporcionalidad de sus lados.
• Finalmente, a la altura calculada del edificio, se le debe sumar la altura del observador para obtener la altura real del edificio.

Fundamentos de Geometría: El Teorema de Thales

El Teorema de Thales establece que si se traza una línea paralela a uno de los lados de un triángulo, esta línea crea un nuevo triángulo cuyos lados son proporcionales a los del triángulo original. Esta es una consecuencia inmediata y fundamental de la semejanza de triángulos.

Teorema de la Bisectriz Interior

El Teorema de la Bisectriz Interior postula que la bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de los otros dos lados del triángulo.

Conceptos de Proporcionalidad: Directa e Inversa

Proporcionalidad Directa

Si cuando una magnitud aumenta, la otra también lo hace de manera proporcional, o si una disminuye y la otra también lo hace proporcionalmente, entonces son dos magnitudes directamente proporcionales. Su constante de proporcionalidad es el cociente de ellas.

Proporcionalidad Inversa

Si cuando una magnitud aumenta, la otra disminuye de manera proporcional, o viceversa, entonces son dos magnitudes inversamente proporcionales. Su constante de proporcionalidad es el producto de ellas.

Estrategias Pedagógicas para la Suma de Fracciones

El proceso utilizado en situaciones sencillas tanto para la suma como para la resta de fracciones se apoya en el hecho de sumar y restar fracciones unitarias (aquellas con el mismo numerador). Las dificultades aparecen cuando la unidad de contar es distinta en las dos fracciones, es decir, en las situaciones en las que se nos presentan fracciones con distinto denominador. La idea que subyace en los procedimientos utilizados es buscar siempre fracciones con el mismo denominador.

Secuencia Didáctica Propuesta según el Tipo de Denominador:

• Fracciones con denominadores múltiplos entre sí: Por ejemplo, 2/3 + 3/6. En este caso, se puede transformar una de las fracciones para que tenga el mismo denominador que la otra.
• Fracciones con denominadores primos entre sí: Por ejemplo, 2/5 + 3/2. El denominador común será el producto de ambos denominadores.
• Fracciones con denominadores que no son múltiplos entre sí, pero tienen factores comunes: Por ejemplo, 2/6 + 3/4. Se busca el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores para encontrar el denominador común más pequeño.

El procedimiento general siempre consiste en buscar denominadores comunes para poder sumar o restar las fracciones.

Enseñanza de la División de Fracciones

La división de fracciones puede abordarse siguiendo una secuencia que introduce gradualmente la complejidad de los conceptos:

• División de una fracción entre un número natural (a/b : n): Se puede interpretar como repartir una fracción en 'n' partes iguales.
• División de un número natural entre una fracción (n : a/b): Por ejemplo, 6 : 2/3 equivale a preguntar cuántas veces cabe 2/3 en 6, lo que es 9 veces.
• División de una fracción entre otra fracción (a/b : c/d): Corresponde también a la idea de cuántas veces cabe c/d en a/b.