Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Múltiplos, Fracciones, Álgebra y Ecuaciones

Fundamentos de Aritmética y Álgebra

Propiedades de los Múltiplos

• Todo número distinto de 0 es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
• La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
• La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
• Si un número es múltiplo de otro, y este lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.
• Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

Propiedades de los Divisores

• Todo número distinto de 0 es divisor de sí mismo.
• La unidad es divisor de cualquier número.
• Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.
• Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo del primero.
• Si un número es divisor de otro, y este lo es de un tercero, el primero lo es del tercero.

Criterios de Divisibilidad

Un criterio de divisibilidad es una regla que permite saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división. Por ejemplo, todo número que acaba en cifra par es múltiplo de 2.

El Concepto de Fracción y Números Racionales

¿Qué es una Fracción?

El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales, como cuando hablamos, por ejemplo, de un cuarto de hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un depósito de gasolina. Tres cuartos de hora no son, evidentemente, la misma cosa que las tres cuartas partes de un pastel, pero se “calculan” de la misma manera: dividiendo la totalidad (una hora, o el pastel) en cuatro partes iguales y tomando luego tres de esas partes.

Tipos de Fracciones

• Fracciones propias: Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador.
• Fracciones impropias: Son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador.
• Fracciones unitarias: Son aquellas cuyo numerador es igual al denominador.
• Fracciones equivalentes: Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.
• Fracciones irreducibles: Son aquellas que no se pueden simplificar.

Fracción Generatriz

La fracción generatriz de un número decimal es la fracción irreducible que representa el mismo número racional que el decimal dado.

Fracciones Opuestas e Inversas

Dos fracciones son opuestas si su suma es igual a cero. Dos fracciones son inversas si tienen los mismos términos que la primera fracción, pero invertidos (es decir, su producto es 1).

Números Racionales (Q)

Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios. Se lo designa por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales. Un número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad.

Potencias y Expresiones Algebraicas

Potencias

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

Base de una Potencia

La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo; por ejemplo, en 6⁵, el 6 es la base.

Exponente de una Potencia

El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base; en el ejemplo 6⁵, el 5 es el exponente.

Expresión Algebraica

Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas.

Ecuaciones, Razones y Proporciones

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquier otra letra.

Resolución de Ecuaciones

Resolver una ecuación significa hallar el valor de la variable que satisface la ecuación; a este valor se le conoce como la solución o la raíz de la ecuación.

Razones y Proporciones

Se llama razón a un número de la forma a/b, que se lee "a es a b" y que significa que al número 'a' le corresponde el número 'b'. Se llama proporción a la igualdad entre dos razones, o la muestra de los tamaños relativos de dos o más valores.

Monomios

Un monomio es el producto indicado de un número (coeficiente) por una o varias letras (parte literal) o bien un número solo.

Identidades Notables

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)² = a² - 2ab + b²
• (a + b) * (a – b) = a² - b²