Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Trigonometría, Geometría y Funciones

Trigonometría

Definición: Parte de las matemáticas que relaciona los lados y ángulos de un triángulo.

Razones Trigonométricas de un Triángulo Rectángulo y Razones Recíprocas

• sen α = C.O. / Hip      Cosec α = Hip / C.O.
• Cos α = C.C. / Hip      Sec α = Hip / C.C.
• Tg α = C.O. / C.C.      Cotg α = C.C. / C.O.

Geometría del Triángulo: Rectas y Puntos Notables

Mediatrices: Recta perpendicular al lado que contiene el punto medio.

Circuncentro: Punto de corte de las tres mediatrices.

Altura: Perpendicular trazada desde cada vértice al lado opuesto.

Ortocentro: Punto donde se cortan las tres alturas.

Bisectrices: Recta que divide cada ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro: Punto donde se cortan las bisectrices.

Medianas: Recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto.

Baricentro: Punto donde se cortan las tres medianas.

Propiedades de las Funciones

Cóncavo: Dado un intervalo, si el segmento que une dos puntos cualesquiera de la función en ese intervalo siempre queda por debajo de la gráfica.

Convexo: Dado un intervalo, si el segmento que une dos puntos cualesquiera de la función en ese intervalo siempre queda por encima de la gráfica.

Punto de inflexión: Punto donde la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa.

Creciente: Si al aumentar la variable independiente (x) aumenta la variable dependiente (y).

Decreciente: Si al aumentar la variable independiente (x) disminuye la variable dependiente (y).

Constante: Si al aumentar la variable independiente (x) la variable dependiente (y) no varía.

Máximo relativo: Los puntos de mayor altura de la gráfica en un entorno.

Mínimos relativos: Son los puntos más bajos de la gráfica en un entorno.

Máximo absoluto: Es el punto más alto de toda la gráfica.

Mínimo absoluto: Es el punto más bajo de toda la gráfica.

Dominio de una función: Son los valores que puede tomar la variable independiente (x) en una función; es decir, todos los valores para los cuales existe la función (la curva).

Productos Notables

• Cuadrado de la suma de dos números: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Cuadrado de la diferencia de dos números: (a - b)² = a² - 2ab + b²
• Diferencia de los cuadrados de dos números (suma por diferencia): (a + b)(a - b) = a² - b²
• El cubo de la suma de dos números: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• El cubo de la diferencia de dos números: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

La Parábola

Una ecuación cuadrática de la forma y = ax² + bx + c representa una parábola.

Una ecuación lineal como y = 2x - 10 representa una recta.

Puntos de Corte de la Parábola con el Eje X

Para encontrar los puntos de corte con el eje X, se iguala la variable dependiente a cero (y = 0).

Esto resulta en una ecuación de segundo grado de la forma ax² + bx + c = 0.

Se resuelve la ecuación, por ejemplo, usando la fórmula cuadrática, sustituyendo los coeficientes (a, b, c).