Conceptos Fundamentales de las Matrices en Matemáticas

¿Qué es una matriz?

En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A, B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a, b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

¿Cuál es la dimensión de una matriz?

Las dimensiones de una matriz son el número de renglones por el número de columnas. Si una matriz tiene a renglones y b columnas, es una matriz a × b. Por ejemplo, la primera matriz mostrada a continuación es una matriz 2 × 2; la segunda es una matriz 1 × 4; y la tercera es una matriz 3 × 3.

¿Qué es el elemento de una matriz?

Una matriz es una tabla rectangular de datos ordenados en filas y columnas, donde las filas son las líneas horizontales y las columnas las líneas verticales.

Si una matriz tiene m filas y n columnas, decimos que la matriz es de orden m x n (se lee orden m por n).

Los elementos de las matrices se denotan con subíndices a_ij, donde el valor de i representa la fila y el valor de j la columna. Los valores de i van de 1 a m y los valores de j van de 1 a n.

a_ij denota el elemento de la fila i y la columna j.

¿Qué es la diagonal mayor y menor?

La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz se define como la traza de dicha matriz. Podemos apreciar entonces que una matriz diagonal es a la vez una matriz cuadrada en la cual las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal.

Dada una matriz cuadrada A, un menor principal es aquel determinante de una submatriz cuadrada de A, en el que los elementos de su diagonal principal pertenecen a la diagonal principal de la matriz A.

Matrices cuadradas

Las matrices cuadradas juegan un papel fundamental en el cálculo matricial. En ellas, el número de filas es el mismo que el de columnas:

En este caso, hablaremos de "matriz cuadrada de orden n". Dadas dos matrices A y B que sean del mismo orden (orden n, por ejemplo), podemos realizar las operaciones A + B y A · B, puesto que el producto de dos matrices de orden n es otra matriz de orden n.

Matriz identidad (orden n)

Es una matriz cuadrada (orden n), representada como I_n, en la que todos sus elementos son 0, excepto los de la diagonal principal, que son unos:

Esta matriz cumple la siguiente propiedad fundamental: A · I_n = I_n · A = A