Conceptos Fundamentales de Mecánica Vectorial y Sistemas de Fuerzas
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Condiciones Vectoriales Fundamentales
Condición de Paralelismo de Dos Vectores
Dos vectores son paralelos si su producto vectorial es nulo. Dados V₁(x₁, y₁, z₁) y V₂(x₂, y₂, z₂), la condición es: V₁ × V₂ = 0.
Condición de Perpendicularidad de Dos Vectores
Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es nulo. Dados V₁(x₁, y₁, z₁) y V₂(x₂, y₂, z₂), la condición es: V₁ · V₂ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0.
Reducción de Sistemas de Fuerzas
Condición para Reducir a una Resultante Única
Un sistema de fuerzas se reduce a una fuerza única cuando el automomento M · R es nulo, siendo la resultante general R no nula. Es decir, cuando el momento resultante relativo a un punto cualquiera es perpendicular a la resultante general.
Condiciones para Reducir a un Par Único
Un sistema de fuerzas se reduce a un par único cuando el automomento M · R es nulo, siendo la resultante general R nula y el momento resultante M relativo a un punto cualquiera distinto de cero.
- M · R = 0 (o MₓX + MᵧY + M₂Z = 0)
- R = 0 (o X² + Y² + Z² = 0)
- M ≠ 0 (o Mₓ² + Mᵧ² + M₂² > 0)
Teoremas Clave
Teorema de Varignon
Si un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo rígido se reduce a una fuerza resultante R única, la suma de los momentos respecto a un punto O de todas las fuerzas del sistema es igual al momento respecto al mismo punto O de la resultante R del sistema.
Teoremas de Guldin (o Pappus-Guldin)
Primer Teorema de Guldin
El área engendrada por una curva plana al girar alrededor de un eje es igual al producto de la longitud de la curva generatriz por la longitud recorrida por el centroide (c.d.f.) de dicha curva.
Fórmula: A = 2πYg · L (donde Yg es la distancia del centroide al eje de giro, L es la longitud de la curva).
Segundo Teorema de Guldin
El volumen engendrado por una superficie plana al girar alrededor de un eje es igual al producto del área de la superficie generatriz por la longitud recorrida por el centroide (c.d.f.) de dicha superficie.
Fórmula: V = 2πYg · A (donde Yg es la distancia del centroide al eje de giro, A es el área de la superficie).
Invariantes de un Sistema de Fuerzas
Los invariantes de un sistema de fuerzas son magnitudes que no cambian con la elección del punto de reducción.
Primer Invariante: La Resultante
La resultante R es el primer invariante de un sistema de fuerzas.
Condición: R² = X² + Y² + Z² = cte o |R| = cte.
Segundo Invariante: El Automomento
El automomento, o producto escalar de la resultante por el momento resultante relativa a cualquier punto del espacio, es el segundo invariante.
Condición: M · R = cte o MₓX + MᵧY + M₂Z = cte.
Segunda Ley de Newton
También conocida como Ley Fundamental de la Dinámica.
Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre un punto material no es nula, el punto material experimenta una aceleración proporcional a la resultante de las fuerzas, en su misma dirección y sentido. La constante de proporcionalidad es la masa inerte del cuerpo.
Fórmula: ΣF = m · a (donde ΣF es la resultante de fuerzas, m es la masa inerte, y a es la aceleración).