Conceptos Fundamentales de Optimización y Funciones en Cálculo Multivariable

Condiciones de Optimización en Cálculo Multivariable

Condición Suficiente de Optimalidad (Criterio de la Segunda Derivada)

Si para una función escalar f, se cumple que:

• Si el gradiente de f en a es cero (∇f(a) = 0) y la matriz Hessiana Hf(a) es definida positiva, entonces f tiene un mínimo local en a.
• Si el gradiente de f en a es cero (∇f(a) = 0) y la matriz Hessiana Hf(a) es definida negativa, entonces f tiene un máximo local en a.

Optimización Convexa

Una función f es convexa en un conjunto A si para cualquier x, y en A y cualquier λ en [0, 1], se cumple:

f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y)

Teoría Local-Global

Sea A un conjunto convexo y f : A ⊂ ℝⁿ → ℝ una función escalar. Se verifica que:

• Si f es cóncava, entonces todo máximo local también es un máximo global.
• Si f es convexa, entonces todo mínimo local también es un mínimo global.

Tipos de Funciones en Optimización

Función Implícita

Hasta ahora, todas las funciones se han expresado en forma explícita, como y = f(x₁, ..., xₙ), donde conocemos explícitamente el valor de la variable "y" en función de las variables (x₁, ..., xₙ). Sin embargo, una ecuación F(x₁, ..., xₙ, y) = 0 puede expresar la variable "y" de forma implícita en función de las variables (x₁, ...) si para cada valor de las variables (x₁, ...) existe un único valor "y" que cumpla la igualdad.

En ocasiones, será posible obtener, a partir de la forma implícita, la expresión explícita de la función "y". Por ejemplo, de la ecuación 2xy + 3x - 4 = 0 podemos obtener su expresión explícita despejando la variable "y": y = (4 - 3x) / (2x), siempre que x ≠ 0.

Funciones Homogéneas

Dada una función escalar f : A ⊂ ℝⁿ → ℝ y dado k ∈ ℝ, diremos que f es una función homogénea de grado k si para cualquier (x₁, ..., xₙ) ∈ A y para cualquier número real t > 0 se cumple:

f(t · x₁, ..., t · xₙ) = tᵏ · f(x₁, ..., xₙ)

Teorema de Euler para Funciones Homogéneas

Dada f : A ⊂ ℝⁿ → ℝ una función escalar diferenciable, se cumple la siguiente equivalencia:

f es homogénea de grado k ↔ x₁ · (∂f/∂x₁) + ... + xₙ · (∂f/∂xₙ) = k · f

Optimización Sin Restricciones

Óptimo Global

• f alcanza un máximo global en a si para todo x ∈ A, f(x) ≤ f(a).
• f alcanza un mínimo global en a si para todo x ∈ A, f(a) ≤ f(x).

Óptimo Local

• f alcanza un máximo local en a si existe un entorno U ⊂ A del punto a que cumple que para todo x ∈ U, f(x) ≤ f(a).
• f alcanza un mínimo local en a si existe un entorno U ⊂ A del punto a que cumple que para todo x ∈ U, f(a) ≤ f(x).

Teorema de Weierstrass

Una función escalar f : A ⊂ ℝⁿ → ℝ continua y cuyo dominio A sea un conjunto compacto tiene máximo y mínimo globales en A. Es decir, existen x_max ∈ A y x_min ∈ A tales que:

• Para todo x ∈ A, f(x) ≤ f(x_max).
• Para todo x ∈ A, f(x_min) ≤ f(x).