Conceptos Fundamentales de Polinomios: Definiciones y Propiedades Esenciales

Conceptos Fundamentales de Polinomios

Valor Numérico de un Polinomio

Sea p(x) un polinomio y β un número real. El valor numérico que toma p(x) para x = β es el número real p(β) que resulta de sustituir x por β en p(x) y efectuar las operaciones indicadas.

El valor numérico que toma el polinomio para x = 0 es el término independiente de dicho polinomio.

Igualdad de Polinomios

Sean p(x) y q(x) dos polinomios. Diremos que son iguales si y solo si p(β) = q(β) para todo β ∈ R.

Dos polinomios son iguales entre sí si tienen el mismo grado y los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.

Grado de un Polinomio

El grado de un polinomio es el mayor de los exponentes que afectan a la variable, siendo el coeficiente de este término distinto de cero.

Formalmente, gr[p(x)] = n si y solo si a_n ≠ 0 y a_i = 0 para todo i > n, donde n es el mayor exponente.

Polinomio Nulo

Un polinomio nulo es un polinomio que no tiene coeficientes distintos de cero (es decir, todos sus coeficientes son cero). Su forma de representarse es única, ya que toma el mismo valor numérico (0) para cualquier número real.

Es el único polinomio que no tiene grado definido, ya que no posee ningún término con coeficiente distinto de cero.

Polinomios de Grado Cero

Un polinomio de grado 0 es un polinomio cuyo único coeficiente distinto de cero es su término independiente (una constante no nula).

División de Polinomios

La división de polinomios es una operación fundamental en álgebra. Se basa en el siguiente teorema:

Teorema de la División Euclídea de Polinomios (TEUCRDEP)

Dados dos polinomios p(x) (dividendo) y d(x) (divisor), siendo d(x) ≠ σ(x) (el polinomio nulo), existen y son únicos los polinomios q(x) (cociente) y r(x) (resto) tales que se cumplen dos condiciones:

1. p(x) = d(x) ⋅ q(x) + r(x)
2. gr[r(x)] < gr[d(x)] o r(x) = σ(x) (el polinomio nulo)

Casos Especiales en la División

• La división por el polinomio nulo d(x) = σ(x) no está definida.
• Si el dividendo es el polinomio nulo, p(x) = σ(x), y el divisor d(x) ≠ σ(x), entonces el cociente q(x) = σ(x) y el resto r(x) = σ(x).
• Si el grado del dividendo es menor que el grado del divisor, gr[p(x)] < gr[d(x)], entonces el cociente q(x) = σ(x) y el resto r(x) = p(x).

Criterio de Divisibilidad para Raíces Enteras

Si p(x) es un polinomio de coeficientes enteros y β ∈ Z (un número entero), entonces para que p(x) sea divisible entre (x - β), es necesario que el término independiente de p(x) sea múltiplo de β.

Esquema de Ruffini

El Esquema de Ruffini se aplica para realizar la división de un polinomio p(x) entre un binomio de la forma (x - β), especialmente cuando el coeficiente principal del divisor es mónico (es decir, el coeficiente de x es 1).

Teorema del Resto

Sean p(x) un polinomio y β un número real. El resto de dividir p(x) entre (x - β) es igual a p(β).

Demostración

1. Por el Teorema de la División Euclídea, sabemos que p(x) = (x - β) ⋅ q(x) + r(x), donde r(x) es una constante (ya que gr[r(x)] < gr[(x - β)] = 1, o r(x) = σ(x)).
2. Evaluamos p(x) para x = β: p(β) = (β - β) ⋅ q(β) + r.
3. Simplificando: p(β) = 0 ⋅ q(β) + r (por la propiedad de elementos opuestos).
4. Continuando: p(β) = 0 + r (por la propiedad de absorción del cero en la multiplicación).
5. Finalmente: p(β) = r (por el elemento neutro de la adición).

Raíces o Ceros de un Polinomio

Sean p(x) un polinomio y β un número real. Se dice que β es una raíz o cero de p(x) si y solo si p(β) = 0.

• Las raíces reales de un polinomio p(x) son los elementos reales del conjunto solución de la ecuación p(x) = 0.
• Todos los números reales son raíces del polinomio nulo, pues σ(β) = 0 para todo β ∈ R.
• Los polinomios de grado 0 no tienen raíces reales, porque toman un solo valor numérico (su término independiente) y este es distinto de cero.