Conceptos Fundamentales de Probabilidad y sus Aplicaciones
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Conceptos Fundamentales de Probabilidad
Definiciones Clave en Probabilidad
Experiencia aleatoria:
Es aquella cuyo resultado depende del azar.Suceso aleatorio:
Es un acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar.Espacio Muestral (E):
Conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria.Suceso:
Cualquier subconjunto de E. Pueden ser sucesos elementales o individuales. También son sucesos el suceso vacío y el propio E (suceso seguro).
Operaciones con Sucesos
Unión (A ∪ B):
Suceso formado por los elementos de A y B. Se verifica cuando ocurre al menos uno de los dos.Intersección (A ∩ B):
Suceso formado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B.Diferencia (A - B):
Suceso formado por todos los elementos de A que no están en B.Complementario (A' = E - A):
Se denomina suceso contrario o complementario.Sucesos incompatibles:
Dos sucesos son incompatibles cuando no tienen ningún elemento común (A ∩ B = ∅).
Medidas de Frecuencia
Frecuencia absoluta (f(S)):
Número de veces que ocurre el suceso S.Frecuencia relativa (Fr(S)):
Proporción de veces que ocurre el suceso S (Fr(S) = f(S) / N).
Axiomas de la Probabilidad
Los axiomas de Kolmogorov establecen las propiedades fundamentales de la probabilidad:
Axioma 1:
Cualquiera que sea el suceso S, P[S] ≥ 0. (La probabilidad de un suceso es no negativa).Axioma 2:
Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades individuales.Axioma 3:
La probabilidad del espacio muestral es 1: P[E] = 1. (La probabilidad del suceso seguro es 1).
Teoremas Fundamentales de Probabilidad
A partir de los axiomas, se derivan importantes teoremas:
T.1:
P[A'] = 1 - P[A]T.2:
P[∅] = 0 (La probabilidad del suceso imposible es 0).T.3:
Si A está incluido en B, entonces P[B] = P[A] + P[B - A].T.4:
Si A está incluido en B, entonces P[A] ≤ P[B].T.5:
P[A ∪ B ∪ C...] = P[A] + P[B] + P[C]... (Para sucesos mutuamente excluyentes).T.6:
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] - P[A ∩ B].T.7:
Si E es finito, P[S] = P[X1] + P[X2] + P[X3]... (Suma de probabilidades de sucesos elementales).
Conceptos Avanzados y Aplicaciones
Ley de Laplace
P[S] =
(Número de casos favorables a S) / (Número de casos posibles)
Probabilidad Condicionada
P[A/C] = P[A ∩ C] / P[C]
Mide la proporción de veces que ocurre A dado que ocurre C.
De esto se deriva: P[A ∩ C] = P[C] * P[A/C]
Sucesos Independientes
Dos sucesos A y C son independientes si P[A/C] = P[A] y P[C/A] = P[C].
Cuando dos sucesos son independientes, la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades:
A y C independientes ⇒ P[A ∩ C] = P[A] * P[C]
Pruebas Compuestas
Se pueden distinguir dos o más etapas. En ellas, el cálculo de probabilidades de sucesos compuestos se simplifica mucho calculando las probabilidades de sus componentes.
- Pruebas compuestas independientes: Dos pruebas compuestas son independientes cuando el resultado de una no influye en la otra; de lo contrario, son dependientes.
- Definición alternativa de independencia: Dos o más pruebas son independientes cuando el resultado de cada una de ellas no influye en las probabilidades de los distintos resultados de las otras.
- Definición de dependencia (según el texto original): Dos experiencias son dependientes cuando el resultado de la primera no influye en las probabilidades de los sucesos de la segunda. (Nota: Esta definición es contradictoria con la lógica habitual de dependencia en probabilidad, pero se mantiene fiel al texto original proporcionado).
Probabilidad Total
P[S] =
P[A1] * P[S/A1] + P[A2] * P[S/A2] + ... + P[An] * P[S/An]
Teorema del Valor Medio (T.V.M.)
T.V.M. [a, b] =
(f(b) - f(a)) / (b - a)
T.V.M. [a, a+h] =
(f(a+h) - f(a)) / h