Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística: Distribuciones y Correlación

Distribución Binomial

La distribución binomial es un modelo de probabilidad discreta que describe el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes, cada uno con una probabilidad de éxito p.

Configuración en Software Estadístico

Para visualizar o calcular probabilidades binomiales en software (ej. Minitab):

Graph > Probability Distribution Plot > View Probability > Binomial

Parámetros Clave de la Distribución Binomial

• n: Tamaño de la muestra o número de ensayos (number of trials)
• p: Probabilidad de éxito en un solo ensayo (event probability)

Interpretación de Símbolos y Rangos

En el contexto de problemas de probabilidad, los siguientes símbolos y frases se interpretan como:

• x > : Mayor que / Más de
• x < : Menor que / Menos de
• x >= : Al menos / O más / No menos de (Representa la cola derecha de la distribución)
• x <= : Como máximo / O menos / No más de (Representa la cola izquierda de la distribución)
• O (en lógica): Implica la suma de probabilidades (+)
• La mayoría: Generalmente se refiere a más de la mitad de la muestra (ej. x >= n/2 + 1). (Nota: La interpretación original "x >= +1" podría ser específica de un contexto o software, pero en general, "la mayoría" implica superar la mitad.)
• Alguno: x >= 1 (Al menos uno)

Ajustes para Variables Discretas (si aplica)

Para variables discretas, la interpretación de desigualdades puede requerir ajustes:

• x > a: Se interpreta como x >= a + 1 (Mayor estricto)
• x < a: Se interpreta como x <= a - 1 (Menor estricto)
• a < x < b: Se interpreta como a+1 <= x <= b-1 (Entre 'a' y 'b', excluyendo los límites)

Cálculo de Probabilidades (View Probability)

Al usar la opción View Probability en software, las opciones comunes son:

• P(x = k): Probabilidad puntual (Middle)
• P(x <= k): Probabilidad acumulada (Left tail - Menor o igual)
• P(x >= k): Probabilidad complementaria (Right tail - Mayor o igual)
• P(a <= x <= b): Probabilidad en un intervalo (Middle)

Distribución Normal

La distribución normal, también conocida como distribución gaussiana, es una distribución de probabilidad continua que es simétrica respecto a su media. Es fundamental en estadística por su aparición frecuente en fenómenos naturales y por el Teorema del Límite Central.

Configuración en Software Estadístico

Para visualizar o calcular probabilidades normales en software:

Graph > Probability Distribution Plot > View Probability > Normal

Parámetros Clave de la Distribución Normal

• μ (Mu): Promedio o Media de la distribución.
• σ (Sigma): Desviación estándar (raíz cuadrada de la varianza).

Nota: Para la distribución normal, al ser continua, P(X < k) es equivalente a P(X <= k).

Tipos de Cálculos con la Distribución Normal

1. Cálculo de Probabilidad a partir de un Valor X

Cuando se tiene un valor específico de X y se busca su probabilidad asociada:

• Ejemplo 1: P(X < 32) * 100 = P(X <= 32) * 100 = 0.7161 → X = 71.61%
• Ejemplo 2: P(20 < X < 34) * 100 = [P(X <= 34) - P(X <= 20)] * 100 = 0.6778 → X = 58.08%

2. Cálculo de Valor X a partir de una Probabilidad

Cuando se tiene una probabilidad y se busca el valor de X que la delimita:

En el gráfico de la curva de distribución normal, el porcentaje (probabilidad acumulada) se ubica en el eje vertical y el valor X en el eje horizontal.

• Ejemplo 1: P(X >= x) = 0.13 → x = 13% → X = 35.12
• Ejemplo 2: P(X <= x) = 0.15 → x = 15% → X = [Valor de X correspondiente]
• Ejemplo 3: P(X >= x) = 0.28 → x = 28% → X = 32.08

3. Cálculo de Cantidad Esperada (Dado un Número Total N)

Para determinar cuántos elementos de un total N cumplen una condición específica:

Cantidad = P(condición) * N

• Ejemplo: P(105 <= X <= 125) * N = 0.5808 → 0.5808 * 2400 = 1393.92 → Aproximadamente 1394 elementos.

Correlación y Regresión Lineal

La correlación mide la fuerza y dirección de una relación lineal entre dos variables, mientras que la regresión lineal busca modelar esta relación para predecir una variable a partir de otra(s).

Variables en Modelos de Regresión

• Variable dependiente (a predecir): Y
• Variables independientes (predictoras): X₁ (la mejor predictora), X₂ (otra predictora)

Determinación de la Mejor Variable Predictora

Para identificar la variable predictora con la relación lineal más fuerte con Y:

Stat > Basic Statistics > Correlation > Seleccionar Y, X₁, X₂

El coeficiente de correlación lineal 'r' siempre se encuentra en el rango [-1, +1]. Un valor cercano a ±0.99 indica una correlación lineal muy fuerte.

Región de Confianza para Pronósticos: Para que los pronósticos basados en el modelo lineal sean considerados acertados, el valor absoluto del coeficiente de correlación 'r' debe ser suficientemente alto (ej. |r| >= 0.75). Esto indica una relación lineal fuerte.

Obtención de Ecuaciones de Modelos de Regresión

1. Ecuación del Modelo de Regresión Lineal Simple (Y vs. X1)

Para hallar la ecuación de una recta que mejor se ajusta a los datos:

Stat > Regression > Fitted Line Plot

• Ecuación del modelo lineal (ecuación de la recta)
• Ecuación del modelo cuadrático (si se ajusta un modelo no lineal)

2. Ecuación del Plano de Regresión (con dos predictoras X1, X2)

Para modelos de regresión múltiple:

Stat > Regression > Regression > Fit Regression Model

• Response: Y (Variable dependiente)
• Predictors: X₁, X₂ (Variables independientes)

Medida de Dispersión del Modelo

El error estándar de la estimación (s) mide la dispersión de los puntos de datos alrededor de la línea o plano de regresión.

• s: Error estándar de la estimación (ej. s = 1.32144)