Conceptos Fundamentales y Propiedades Clave de las Funciones Matemáticas

A continuación, se detallan las definiciones esenciales relacionadas con las funciones en matemáticas:

• Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde, como máximo, un único valor de la segunda, que se llama imagen.

Variables en una Función

• Variable independiente (X): Es aquella cuyo valor se fija previamente.
• Variable dependiente (Y): Es aquella cuyo valor se deduce a partir de la variable independiente.

Conjuntos Asociados a la Función

• Dominio de la función (D(f)): Es el conjunto de todos los valores posibles que toma la variable independiente. Se representa como $\text{D}(f)$.
• Recorrido de la función (R(f)): Es el conjunto de todos los valores posibles que toma la variable dependiente. Se representa como $\text{R}(f)$.

Tipos de Simetría

• Simetría Par: Ocurre cuando para cualquier valor de $x$ en su dominio se verifica que $f(x) = f(-x)$.
• Simetría Impar: Ocurre cuando para cualquier valor de $x$ en su dominio se verifica que $f(-x) = -f(x)$.

Función Periódica

• Una función es periódica cuando los valores que toma se van repitiendo cada intervalo $T$, llamando $T$ al periodo, cuando se cumple $f(x+T) = f(x)$.

Tasa de Variación

Se refiere al cambio experimentado por la función en un intervalo:

• Tasa de variación de una función continua $f(x)$ en el intervalo $(x, x+h)$: Es el aumento o disminución que experimenta dicha función en el intervalo.
• Tasa de variación media de la función continua $f(x)$ en el intervalo $[x, x+h]$: Es el cociente entre la tasa de variación y el incremento de la variable en ese intervalo: $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.

Extremos de una Función

Extremos Relativos

• Máximo relativo en $x=a$: Si existe un entorno del punto $a$ donde la función toma valores menores o iguales a $f(a)$ (es decir, $f(x) \le f(a)$).
• Mínimo relativo en $x=a$: Si existe un entorno del punto $a$ donde la función toma valores mayores o iguales a $f(a)$ (es decir, $f(x) \ge f(a)$).

Extremos Absolutos

• Máximo absoluto: En $x=a$ si $f(a)$ es mayor o igual que el valor de $f(x)$ en cualquier otro punto del dominio.
• Mínimo absoluto: En $x=a$ si $f(a)$ es menor o igual que el valor de $f(x)$ en cualquier otro punto del dominio.

Ejemplos de Funciones Específicas

Función de Proporcionalidad Inversa

En general, una función de la forma $f(x) = \frac{k}{x}$ se llama función de proporcionalidad inversa.

• La gráfica de esta función se llama hipérbola.
• Su dominio comprende todos los números reales excepto el cero.
• Es continua en todos los valores de su dominio.
• Es simétrica respecto del origen de coordenadas (es una función impar).
• Si $k>0$, la gráfica se sitúa en el primer y tercer cuadrante. Si $k<0$, se sitúa en el segundo y cuarto cuadrante.

Función Racional

Una función racional tiene la forma $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$, donde $p(x)$ y $q(x)$ son funciones polinómicas y $q(x) \neq 0$.

• El dominio de una función racional es toda la recta real, excepto los valores de $x$ que anulan al denominador ($q(x)=0$).