Conceptos Fundamentales y Propiedades de Límites en Cálculo

Conceptos Fundamentales del Límite de una Función

El concepto de límite es esencial en el cálculo y se puede definir de varias maneras, cada una aportando una perspectiva diferente:

1. Definición Intuitiva

   lim f(x) = L cuando x→a. Esto significa que f(x) se aproxima al número L tanto como se desee cuando x se aproxima lo suficiente al valor 'a' (con x ≠ a).

2. Definición Basada en Distancia

   lim f(x) = L cuando x→a. Esto implica que la distancia d(f(x), L) es tan pequeña como se quiera, siempre que d(f(x), L) > 0 sea suficientemente pequeña.

3. Definición Epsilon-Delta (Formal Simplificada)

   lim f(x) = L cuando x→a. Para cualquier ξ > 0 (épsilon, una cantidad pequeña), la distancia d(f(x), L) < ξ, siempre que la distancia d(x, a) sea suficientemente pequeña, es decir, 0 < d(x, a) < δ (delta, otra cantidad pequeña).

4. Definición Epsilon-Delta (Formal Completa)

   lim f(x) = L cuando x→a. Dado cualquier número ξ > 0, se puede encontrar otro número δ > 0 tal que si 0 < d(x, a) < δ, entonces d(f(x), L) < ξ.

5. Definición Epsilon-Delta (Notación Simbólica)

   lim f(x) = L cuando x→a ⇔ ∀ ξ > 0 ∃ δ > 0 / 0 < d(x, a) < δ ⇒ d(f(x), L) < ξ.

Propiedades Esenciales de los Límites

Estas propiedades son válidas tanto para límites globales como para límites laterales:

• 1. Unicidad del Límite

  El límite de una función, si existe, es único. Si lim f(x) = L₁ cuando x→a y lim f(x) = L₂ cuando x→a, entonces L₁ = L₂.

• 2. Acotación

  Si el límite de f(x) es un número L, los valores de la función están acotados en un cierto entorno del punto 'a'.

• 3. Conservación del Signo

  Si el límite de f(x) es un número L distinto de 0, entonces existe un entorno reducido de 'a' donde f(x) tiene el mismo signo que L.

• 4. Diferencia entre f(x) y su Límite

  lim f(x) = L cuando x→a ↔ lim (f(x) – L) = 0 cuando x→a.

• 5. Regla del Sándwich (o Teorema de Compresión)

  Si f, g, h son funciones tales que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) en un entorno reducido del punto 'a', y si lim f(x) = L cuando x→a y lim h(x) = L cuando x→a, entonces lim g(x) = L cuando x→a.

Conceptos Relacionados con Funciones

Recorrido (Rango)

El recorrido de una función son los valores que toma la variable dependiente 'y'.

Ecuación de una Recta

La expresión y = mx + n representa la ecuación de una recta, donde 'm' es la pendiente y 'n' es la ordenada al origen.

Dominio de una Función

El dominio de una función son todos los valores posibles que la variable independiente 'x' puede tomar para que la función esté definida:

• Polinomios: El dominio es ℝ (todos los números reales).
• Fracciones (Funciones Racionales): El dominio es ℝ - {valores que anulan el denominador}.
• Raíces (con índice par): El radicando debe ser mayor o igual a cero (radicando ≥ 0). (Considerar análisis de intervalos cuando hay más de una solución).

Resolución de Indeterminaciones en Límites

Al calcular límites, a menudo nos encontramos con formas indeterminadas que requieren técnicas específicas para su resolución:

• Indeterminación ∞/∞

  Se divide cada término del numerador y del denominador por la máxima potencia de la variable del denominador.

• Indeterminación 0/0

  Se factoriza el numerador y el denominador (por ejemplo, utilizando la regla de Ruffini o identidades notables) y se simplifican los términos comunes.

• Indeterminación ∞ - ∞

  Si hay raíces, se multiplica y divide por el conjugado. Si son fracciones, se busca un denominador común para combinarlas.

Reglas para Límites de Cocientes de Polinomios (cuando x→∞):

• Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el límite es ±∞.
• Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador, el límite es el cociente de los coeficientes principales.
• Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, el límite es 0.

Cálculo de Asíntotas Verticales

Las asíntotas verticales son rectas verticales a las que la función se aproxima infinitamente. Para hallarlas:

1. Primero, se determina el dominio de la función.
2. Luego, se calculan los límites laterales en los puntos donde la función no está definida (generalmente, donde el denominador es cero).

Ejemplo: f(x) = (1-x) / (x-2)

• Dominio de f(x): ℝ - {2}
• Calculamos el límite cuando x se aproxima a 2:
• lim (1-x) / (x-2) cuando x→2 = (-1) / 0 = ±∞
• Por lo tanto, la recta x = 2 es una asíntota vertical.

Límites Infinitos y Laterales

Los límites infinitos describen el comportamiento de una función cuando sus valores crecen o decrecen sin cota. Los límites laterales exploran este comportamiento desde un lado específico del punto.

Ejemplos de Límites Laterales:

• lim f(x) = ∞ cuando x→0⁺ (cuando x se aproxima a 0 por la derecha)
• lim f(x) = -∞ cuando x→0⁻ (cuando x se aproxima a 0 por la izquierda)

(Nota: Las referencias a "la tota de agua" para -∞ y "el caracol" para +∞ son mnemotécnicas personales para la representación gráfica.)