Conceptos Fundamentales de Relaciones, Funciones y Variables Matemáticas

¿Qué es una Relación Matemática?

Una relación matemática es la correspondencia de cada elemento de un primer conjunto con uno o más elementos de un segundo conjunto.

Cinco Ejemplos de Relaciones

A continuación, se presentan algunos ejemplos de relaciones:

• Relación entre variables numéricas: Por ejemplo, Y = √(X² - 2).
• Asociación de calificaciones y alumnos: Donde a cada alumno se le asocia una o más calificaciones.
• Relación entre frutas y sus costos: Donde a cada tipo de fruta se le asocia un precio.

¿Qué es una Función Matemática?

La función entre dos conjuntos implica una correspondencia entre sus elementos. El valor se establece cuando dos variables están relacionadas, y a cada elemento del primer conjunto le corresponde únicamente otro elemento de un segundo conjunto.

Ejemplos de Funciones

1. f(x) = {(4, 12), (6, -7), (-1, 4), (2, 3), (-3, 6)}
2. f(x) = {(1, 3), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}
3. f(x) = x² - 1. Algunos puntos que satisfacen esta función son: {(-1, 0), (2, 3), (3, 8), (4, 15), (5, 24)}.

Significado de F(x)

La notación F(x) (o f(x)) denota el valor de la función para un determinado valor de la variable independiente x. En un par ordenado (x, y), donde y = F(x), x representa el primer elemento (la entrada) y F(x) (o y) representa el segundo elemento (la salida o el valor de la función).

¿Qué es una Constante Numérica?

Una constante numérica es un valor fijo y determinado que no cambia en el contexto de una expresión, ecuación o proposición matemática. No es una variable.

¿Qué es una Constante?

Una constante es un valor fijo que no cambia. A diferencia de una variable, a una constante no se le pueden atribuir valores diferentes; su valor permanece inalterable en una situación o problema dado.

¿Qué es una Variable Independiente?

La variable independiente es aquella a la que se le asignan valores libremente dentro de un conjunto o rango específico. Su valor no depende de ninguna otra variable en la función o relación.

¿Qué es una Variable Dependiente?

La variable dependiente es aquella cuyo valor se determina o "depende" del valor de la variable independiente. En un par ordenado (x, y), y es la variable dependiente, ya que su valor se obtiene a partir de x.

¿Qué es un Intervalo de una Variable?

Un intervalo es un subconjunto de números reales que se encuentra entre dos valores límites. Se utiliza para representar un rango continuo de valores que una variable puede tomar, y se representa comúnmente en la recta numérica.

¿Qué es la Amplitud de un Intervalo?

La amplitud de un intervalo es la medida de su "longitud" o extensión. Se calcula restando el valor del límite inferior al valor del límite superior del intervalo. Por ejemplo, para un intervalo [a, b], la amplitud es b - a.

Notación y Significado de un Intervalo Abierto

Un intervalo abierto es un conjunto de números reales entre dos puntos, pero sin incluir esos puntos extremos. Se denota con paréntesis (a, b), lo que significa que incluye todos los números x tales que a < x < b.

Notación y Significado de un Intervalo Infinito

Un intervalo infinito es un conjunto de números reales que se extiende indefinidamente en una o ambas direcciones. Se utiliza el símbolo de infinito (∞ o -∞) para indicar que no hay un límite en esa dirección. Ejemplos incluyen (a, ∞), (-∞, b) o (-∞, ∞).

Concepto de Dominio y Rango de una Función

El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de la variable independiente (generalmente x) para los cuales la función está definida. El rango (o codominio/imagen) de una función es el conjunto de todos los valores de la variable dependiente (generalmente y o f(x)) que la función puede producir a partir de los valores de su dominio.