Conceptos Fundamentales de Teoría de Conjuntos, Relaciones y Aplicaciones Matemáticas

Fundamentos de Teoría de Conjuntos y Relaciones

Relaciones Binarias y de Equivalencia

Relación Binaria

Sea $X$ un conjunto. Llamamos relación binaria en $X$ a todo subconjunto $R$ del producto cartesiano $X \times X$, es decir, $R \subseteq X \times X$. Diremos que “$a$ está relacionado con $b$ por $R$”, y lo notaremos por $a R b$, si y solo si $(a, b) \in R$.

Conjunto Cociente ($X/R$)

Sea $R$ una relación de equivalencia en $X$. Llamaremos conjunto cociente de $X$ por la relación $R$, y lo notaremos por $X/R$, al conjunto de todas las clases de equivalencia en $X$ determinadas por $R$. El conjunto se define como:

$$X/R = \{ \bar{a} \mid a \in X \}$$

Clase de Equivalencia ($\bar{a}$ o $[a]$)

Dada $R$ una relación de equivalencia sobre un conjunto $X$ y $a \in X$, definimos la clase de equivalencia de $a$ al subconjunto de $X$ formado por todos los elementos relacionados con $a$, es decir:

$$\bar{a} = [a] = \{ x \in X \mid x R a \}$$

Conjuntos Ordenados y Extremos

Diagrama de Hasse

Describe la relación $R$ de forma que si $a \leq b$, representamos una flecha, ascendente, con origen $a$ y extremo $b$. (Este diagrama se utiliza para visualizar conjuntos parcialmente ordenados).

Cotas Superiores

Sea $A \subseteq X$. Un elemento $b \in X$ es una cota superior de $A$ si para todo $a \in A$, se cumple que $a \leq b$.

Cotas Inferiores

Sea $A \subseteq X$. Un elemento $b \in X$ es una cota inferior de $A$ si para todo $a \in A$, se cumple que $a \geq b$.

Supremo ($\sup(A)$)

Sea $A \subseteq X$. Llamaremos supremo de $A$, $\sup(A)$, al mínimo (si existe) del conjunto de cotas superiores de $A$.

Ínfimo ($\inf(A)$)

Sea $A \subseteq X$. Llamaremos ínfimo de $A$, $\inf(A)$, al máximo (si existe) del conjunto de cotas inferiores de $A$. (Definición corregida).

Máximo

Se dice que un elemento $m \in A$ es el máximo de $A$ si es una cota superior de $A$. (Implica que $m$ pertenece al conjunto $A$).

Mínimo

Se dice que un elemento $n \in A$ es el mínimo de $A$ si es una cota inferior de $A$. (Implica que $n$ pertenece al conjunto $A$).

Maximal

Sea $X$ un conjunto ordenado. Un elemento $x \in X$ se dice maximal de $X$ si la relación $x \leq a$ para algún $a \in X$, implica que $x = a$.

Minimal

Sea $X$ un conjunto ordenado. Un elemento $y \in X$ se dice minimal en $X$ si la relación $b \leq y$ para algún $b \in X$, implica que $y = b$.

Aplicaciones y Estructuras Algebraicas

Tipos de Aplicaciones (Funciones)

Aplicación (Función)

Una correspondencia $f: X \to Y$ se dice que es una aplicación (o función) cuando todo elemento de $X$ tiene una y solo una imagen en $Y$:

$$\forall a \in X, \exists! b \in Y \text{ tal que } f(a)=b$$

Aplicación Inyectiva

Una aplicación es inyectiva si cada elemento de $Y$ es imagen a lo más de un elemento de $X$, es decir:

• $x \neq x’ \Rightarrow f(x) \neq f(x’)$
• (Equivalente) $f(x) = f(x’) \Rightarrow x = x’$

Aplicación Sobreyectiva

Una aplicación es sobreyectiva si todo elemento de $Y$ es imagen al menos de un elemento de $X$:

$$\forall b \in Y, \exists a \in X \text{ tal que } f(a)= b$$

Aplicación Biyectiva

Una aplicación es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Esto implica que para cada elemento $b$ en $Y$ existe un único elemento $a$ en $X$ tal que $f(a)= b$:

$$\forall b \in Y, \exists! a \in X \text{ tal que } f(a)= b$$

Conceptos Fundamentales de Conjuntos y Álgebra

Correspondencia

Sean $X$ e $Y$ conjuntos. Una correspondencia entre $X$ e $Y$ es una terna $(X, Y, G)$ donde $G \subseteq X \times Y$.

• Al conjunto $X$ se le llama conjunto inicial.
• Al conjunto $Y$ se le llama conjunto final.
• A $G$ se le llama grafo o gráfica de la correspondencia.

Producto Cartesiano ($X \times Y$)

Dados $X$ e $Y$ conjuntos, llamaremos producto cartesiano de $X$ e $Y$ al conjunto formado por todos los pares ordenados que pueden formarse con elementos de $X$ e $Y$:

$$X \times Y = \{(a, b) \mid a \in X \text{ y } b \in Y\}$$

Conjunto de las Partes o Conjunto Potencia ($\mathcal{P}(X)$)

Dado un conjunto $X$, llamaremos conjunto de las partes o conjunto potencia de $X$, $\mathcal{P}(X)$, al conjunto que tiene por elementos a todos los subconjuntos de $X$, esto es:

$$\mathcal{P}(X) = \{ A \mid A \subseteq X \}$$

Partición

Una partición de un conjunto $X$ es una familia de subconjuntos de $X$, $\{A_i\}_{i \in I}$, tal que:

1. $A_i \neq \emptyset$ para cada $i$.
2. Todos los conjuntos de la familia son disjuntos dos a dos.
3. La unión de todos los conjuntos de la familia es $X$.

Unidad en $\mathbb{Z}_n$

Un elemento $\bar{a} \neq \bar{0}$ en $\mathbb{Z}_n$ es una unidad en $\mathbb{Z}_n$ si tiene inverso, es decir, si existe otro elemento $\bar{b} \neq \bar{0}$ en $\mathbb{Z}_n$ tal que $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1}$.