Conceptos Fundamentales de la Transformada de Laplace y el Lugar de las Raíces
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La Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace es una técnica matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales, como la Transformada de Fourier.
Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable.
Aplicaciones de la Transformada de Laplace
¿Para qué sirve la Transformada de Laplace? Se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales. Aunque puede resolver algunos tipos de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, generalmente se aplica a problemas con coeficientes constantes.
Definición de la Transformada de Laplace de f(t)
ℒ{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt
Transformada Inversa de Laplace
ℒ-1{F(s)} = f(t)
El Lugar de las Raíces en Teoría de Control
En teoría de control, el Lugar de las Raíces es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a medida que se varía la ganancia del sistema K en un determinado intervalo.
El método del Lugar de las Raíces permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto.
El Lugar de las Raíces es una herramienta útil para analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO (Single Input Single Output) y su estabilidad (BIBO stability). (Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo (en el caso de sistemas continuos) o dentro del círculo unitario del plano z (para sistemas discretos)).
K es proporcional a la ganancia estática.
Si modificamos el valor de K, varían los polos de M(s) (los ceros no varían).
Se denomina Lugar de las Raíces al lugar geométrico de los polos de M(s) al variar K desde cero hasta infinito.
Concepto y Utilidad del Lugar de las Raíces
El Lugar de las Raíces sirve para estudiar cómo influye la ganancia en bucle abierto en el comportamiento dinámico de un sistema realimentado.
Es una herramienta fundamental para el análisis dinámico de sistemas realimentados, permitiendo evaluar:
- Estabilidad
- Rapidez del sistema en cadena cerrada al variar K
- Oscilaciones