Conceptos Fundamentales de Vectores: Magnitudes, Propiedades y Operaciones

Magnitudes Físicas

Magnitud Escalar

Son aquellas magnitudes que quedan completamente expresadas mediante un número y una unidad.

Magnitud Vectorial

Son magnitudes que, además de expresarse mediante un número y una unidad, también necesitamos conocer su dirección y sentido. Se representan mediante vectores.

Vectores: Definición y Propiedades

Vector

Un vector fijo con origen A y extremo B es el segmento orientado que va desde A hasta B. Se representa como AB (nota: comúnmente con una flecha encima → AB).

Módulo de un Vector

Es la longitud del segmento que representa al vector. Se representa como |AB| (nota: comúnmente |→ AB|). Si un vector v tiene coordenadas (v₁, v₂), su módulo se calcula como: |v| = √(v₁² + v₂²).

Dirección de un Vector

Viene determinada por la posición de la recta que contiene a dicho vector. De este modo, todos los vectores que son paralelos entre sí tienen la misma dirección.

Argumento de un Vector

Es el ángulo que forma el vector con el eje horizontal (o eje de abscisas). Se calcula mediante la arcotangente de sus coordenadas (θ = arctan(v₂/v₁) para el vector v = (v₁, v₂)).

Sentido de un Vector

Depende de la orientación de dicho vector sobre la recta que lo contiene. De este modo, si se considera el vector AB (→ AB), el sentido es la orientación desde el origen (A) hacia el extremo (B).

Tipos de Vectores

• Vector Unitario: Es aquel vector cuyo módulo es igual a 1 (|u| = 1).
• Vector Nulo: Es aquel cuyo origen y extremo coinciden, por lo que su módulo es 0. Se designa como 0 (→ 0).
• Vectores Equipolentes: Son vectores que tienen igual módulo, dirección y sentido.
• Vector Libre: Es el conjunto formado por todos los vectores equipolentes entre sí. Cada vector fijo es un representante de un vector libre.
• Vectores Ligados: Son vectores equipolentes que se encuentran sobre la misma recta.
• Vectores Opuestos: Son vectores que tienen el mismo módulo y dirección, pero sentido contrario. El opuesto de v es -v.
• Vectores Paralelos: Son vectores que tienen la misma dirección. Esto significa que sus coordenadas son proporcionales, ya que su argumento es el mismo (o difiere en 180°). Si u = (u₁, u₂) y v = (v₁, v₂), son paralelos si u₁/v₁ = u₂/v₂ (siempre que v₁ y v₂ sean distintos de cero).

Operaciones con Vectores

Suma de Vectores

Dados u = (u₁, u₂) y v = (v₁, v₂), la suma es: u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂).

Diferencia de Vectores

Dados u = (u₁, u₂) y v = (v₁, v₂), la diferencia es: u - v = (u₁ - v₁, u₂ - v₂).

Multiplicación de un Número por un Vector

Dado un número real k y un vector u = (u₁, u₂), el producto es: k · u = (k · u₁, k · u₂).

Producto Escalar de dos Vectores

Dados u y v, su producto escalar se define como: u · v = |u| · |v| · cos(α), donde α es el ángulo que forman los vectores. También se puede calcular como: u · v = u₁·v₁ + u₂·v₂.

Rectas y Vectores

Vector Director

Una recta queda determinada por un punto perteneciente a ella y un vector que tenga la misma dirección que la recta. Este vector se llama vector director.

Ecuación Vectorial de la Recta

Si una recta pasa por el punto P(x₁, y₁) y tiene como vector director v = (v₁, v₂), su ecuación vectorial es: (x, y) = (x₁, y₁) + k · (v₁, v₂), donde k es un parámetro real.