Conceptos Geométricos: Imagen Mental, Figuras, Transformaciones y Topología en el Desarrollo Espacial según Piaget

Imagen de concepto y concepto geométrico

La imagen de concepto es algo no verbal asociado en nuestra mente con el nombre de concepto. Se ha ido formando a lo largo de los años por la experiencia de todo tipo. Entendemos por concepto las palabras o términos que caracterizan el concepto.

Factores que dificultan la comprensión de conceptos

Se identifican los siguientes aspectos problemáticos:

• Forma habitual de presentar figuras: definiciones inadecuadas que no favorecen el reconocimiento de una figura como perteneciente a otra familia más general.
• Naturaleza de los ejemplos y contraejemplos presentados para ilustrar un concepto.

Clasificación de figuras planas

Definiciones de figuras y elementos

• Bisectriz: recta que divide ángulos en 2 partes congruentes. Puede ser altura de un triángulo, trazada desde un vértice perpendicularmente a la recta que contiene el lado opuesto.
• Diagonal: segmento que une 2 vértices no consecutivos.
• Baricentro: punto de intersección de las medianas de un triángulo.

Polígonos y cuadriláteros

• Polígono regular: polígono de 4 lados congruentes.
• Trapezoide: polígono de 4 lados, sin ningún par de lados paralelos.
• Paralelogramo: polígono de 4 lados paralelos 2 a 2.
• Rectángulo: paralelogramo con diagonales congruentes.
• Cuadrado: rectángulo cuyas diagonales son perpendiculares.
• Romboide: paralelogramo cuyas diagonales no son congruentes.
• Rombo: romboide cuyas diagonales son perpendiculares.

Transformaciones geométricas

Transformaciones isométricas

• Traslación: transformación determinada por un vector. Una traslación de vector V es una transformación que asigna a cualquier punto P del plano otro punto P'.
• Giro: transformación determinada por un punto y un ángulo orientado. Un giro de centro y ángulo es una transformación que asigna a cualquier punto P del plano otro punto P'.
• Simetría axial: transformación determinada por una recta.
• Simetría central: transformación determinada por un punto O.

Desarrollo de conceptos espaciales según Piaget

Piaget propuso una teoría del desarrollo de conceptos espaciales en el niño, en la que distingue entre percepción y representación (representación de objetos en ausencia de los mismos). La percepción es el conocimiento de los objetos a partir del contacto directo con ellos.

Etapas del desarrollo

• 0-2 años: percepción (sensoriomotora).
• 2-7 años: representación (reconstrucción de imágenes espaciales).
• 7 años en adelante: perfeccionamiento de la representación (operaciones concretas).

Enfoque topológico y el Programa de Klein

Según Klein, dos figuras se consideran equivalentes si una puede obtenerse a partir de la otra mediante deformación sin rotura ni soldadura, proyección central o paralela o movimiento rígido.

Tipos de propiedades geométricas

• Propiedades topológicas: independientes de la forma y el tamaño. La topología estudia las propiedades de las figuras que permanecen invariantes cuando se les aplican transformaciones continuas, es decir, deformaciones sin rotura ni soldadura.
• Propiedades proyectivas: permiten predecir qué aspecto tendrá un objeto al ser visto desde diversos ángulos o la sombra que producirá.
• Propiedades euclídeas: propiedades relativas a tamaños, distancias y direcciones.

Puntos críticos de la teoría de Piaget

La psicología considera que la percepción es un proceso organizativo complejo que solo se diferencia en grado de la representación. Se ha observado en las réplicas a las investigaciones realizadas por Piaget que aparecen resultados distintos cuando se modifica la metodología. Piaget trató de explicar el desarrollo de ideas espaciales utilizando las estructuras lógicas de las propias matemáticas al construir una secuencia.