Conceptos Matemáticos Esenciales: Funciones, Límites y Estadística

Inecuaciones

Para resolver inecuaciones, se opera hasta obtener una fracción en un miembro y cero en el otro. Los pasos a seguir son:

1. Se resuelven las ecuaciones, igualando a 0 el denominador y el numerador.
2. Se colocan las soluciones en la recta numérica.
3. Se comprueba si los puntos son parte de la solución (intervalos y puntos críticos).
4. Se determina el intervalo solución.

Funciones Matemáticas

Función Recíproca (Inversa Proporcional)

• Forma general: f(x) = k/x
• Dominio: IR - {0}
• Asíntotas: x = 0 (asíntota vertical), y = 0 (asíntota horizontal).
• Paridad: Es una función impar respecto al origen.
• Comportamiento:
  • Si k > 0, la función decrece (en el 1er y 3er cuadrante).
  • Si k < 0, la función crece (en el 2do y 4to cuadrante).

Función Afín

• Forma general: f(x) = mx + n
• Dominio: IR
• Comportamiento:
  • Si m > 0, la función crece.
  • Si m < 0, la función decrece.
• Casos especiales:
  • Si m = 0, y = n: Es una función constante, paralela al eje X y pasa por el punto (0, n).
  • Si n = 0, y = mx: Es una función lineal, una recta con pendiente m que pasa por el origen (0, 0).

Función Cuadrática

• Forma general: f(x) = ax² + bx + c
• Dominio: IR
• Vértice: V = (-b/(2a), (4ac - b²)/(4a))
• Comportamiento del vértice:
  • Si a > 0, el vértice es un mínimo.
  • Si a < 0, el vértice es un máximo.
• Casos especiales del vértice:
  • Si b = 0 y c = 0: Vértice en (0, 0).
  • Si b = 0 y c ≠ 0: Vértice en (0, c).
  • Si b ≠ 0 y c = 0: Vértice en (-b/(2a), (4ac - b²)/(4a)).

Función Exponencial

• Forma general: f(x) = a^x (con a > 0 y a ≠ 1)
• Dominio: IR
• Rango: (0, +∞)
• Puntos clave: Pasa por (0, 1) y (1, a).
• Comportamiento:
  • Si a > 1, la función crece.
  • Si 0 < a < 1, la función decrece.

Función Logarítmica

• Forma general: f(x) = log_a x (con a > 0 y a ≠ 1)
• Dominio: (0, +∞)
• Rango: IR
• Puntos clave: Pasa por (a, 1) y (1, 0).
• Comportamiento:
  • Si a > 1, la función crece.
  • Si 0 < a < 1, la función decrece.

Función Seno

• Forma general: f(x) = sen(x)
• Dominio: IR
• Rango: [-1, 1]
• Puntos clave: (0, 0), (π/2, 1), (π, 0).

Función Coseno

• Forma general: f(x) = cos(x)
• Dominio: IR
• Rango: [-1, 1]
• Puntos clave: (0, 1), (π, -1), (2π, 1).

Límites de Funciones

Las indeterminaciones más comunes y cómo resolverlas:

• ∞/∞: Se divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia de la variable.
• ∞ - ∞: Se realiza la operación algebraica (por ejemplo, común denominador) o, si hay radicales, se multiplica y divide por el conjugado.
• 1^∞: Se utiliza la fórmula del número e. Se reescribe la expresión como e^{lim (base-1)*exponente}.
• 0/0: Se factoriza el numerador y el denominador (por Ruffini o identidades notables) y se simplifican los términos comunes.
• k/0: Se calculan los límites laterales. La solución será +∞ o -∞, dependiendo del signo del denominador al acercarse al punto.

Para que un límite exista en un punto, los límites laterales deben coincidir.

Comportamiento de Límites en el Infinito

Límites de Funciones Racionales (Polinomios/Racionales) cuando x → ∞

• Si el grado del numerador (n) es mayor que el grado del denominador (d) (n > d): El límite es ±∞.
• Si el grado del numerador (n) es igual que el grado del denominador (d) (n = d): El límite es el cociente de los coeficientes principales.
• Si el grado del numerador (n) es menor que el grado del denominador (d) (n < d): El límite es 0.

Límites de Funciones Exponenciales (a^x)

• Cuando x → +∞:
  • Si a > 1: El límite es +∞.
  • Si a = 1: El límite es 1.
  • Si 0 < a < 1: El límite es 0.
• Cuando x → -∞:
  • Si a > 1: El límite es 0.
  • Si a = 1: El límite es 1.
  • Si 0 < a < 1: El límite es +∞.

Límites de Funciones Logarítmicas (log_a x)

• Cuando x → 0⁺:
  • Si a > 1: El límite es -∞.
  • Si 0 < a < 1: El límite es +∞.
• Cuando x → +∞:
  • Si a > 1: El límite es +∞.
  • Si 0 < a < 1: El límite es -∞.

Continuidad de Funciones

Una función f(x) es continua en un punto si se cumplen tres condiciones:

1. La función está definida en el punto (existe f(a)).
2. El límite de la función existe en el punto (los límites laterales coinciden).
3. El valor de la función en el punto coincide con el valor del límite (f(a) = lim_x→a f(x)).

Si alguna de estas condiciones no se cumple, la función es discontinua. Los tipos de discontinuidades son:

• Discontinuidad Evitable: Ocurre cuando el límite de la función existe en el punto, pero f(x) no está definida en ese punto o no coincide con el valor del límite.
• Discontinuidad de Salto Finito: Ocurre cuando los límites laterales existen pero no coinciden.
• Discontinuidad de Salto Infinito: Ocurre cuando al menos uno de los límites laterales es ±∞.

Medidas de Tendencia Central

En estadística, las medidas de tendencia central resumen un conjunto de datos:

• Media: Es el cociente de la suma de todos los datos multiplicados por su frecuencia, dividido entre el número total de datos.
• Moda: Es el dato con mayor frecuencia.
• Mediana: Es el dato que se encuentra en el centro de un conjunto de datos ordenados. Si el número de datos es par, es el promedio de los dos datos centrales.

Razones Trigonométricas e Identidades Fundamentales

Las razones trigonométricas básicas en un triángulo rectángulo son:

• Seno (sen): Cateto opuesto / Hipotenusa. Su recíproca es la cosecante (csc).
• Coseno (cos): Cateto contiguo / Hipotenusa. Su recíproca es la secante (sec).
• Tangente (tg): Seno / Coseno (o Cateto opuesto / Cateto contiguo). Su recíproca es la cotangente (cotg).

Identidades Trigonométricas Fundamentales:

• sen²(α) + cos²(α) = 1
• tg(α) = sen(α) / cos(α)
• 1 + tg²(α) = sec²(α)