Construcción de Tangencias en Dibujo Técnico: Casos Fundamentales de Puntos, Rectas y Circunferencias

Casos Fundamentales de Construcción de Tangencias

1. Circunferencia que pasa por un punto exterior $P_e$ y es tangente a una recta $r$ en un punto dado $T$

Condiciones: $P_r(T), P_e, r$

• Paso 1: Trazar una perpendicular a la recta r que pase por el punto de tangencia T.
• Paso 2: Unir el punto T con el punto exterior P_e y hallar la mediatriz del segmento resultante.
• Paso 3: El punto donde la mediatriz corta a la perpendicular trazada anteriormente es el centro O de la circunferencia buscada.

2. Circunferencia que pasa por dos puntos $P$ y $Q$ y es tangente a una recta $r$

Condiciones: $P_e(P), P_e(Q), r$

• Paso 1: Unir los dos puntos dados, P y Q.
• Paso 2: Hallar la mediatriz del segmento P-Q.
• Paso 3: Con centro en cualquier punto de la mediatriz, se dibuja una circunferencia auxiliar que pase por P y Q.
• Paso 4: Prolongar el segmento P-Q hasta cortar a la recta r en el punto C.
• Paso 5: Hallar la tangente a la circunferencia auxiliar desde el punto C.
• Paso 6: Con centro en C y radio igual al segmento de tangencia ($√k$), se traza un arco que cortará a la recta r en dos puntos T (puntos de tangencia).
• Paso 7: Desde cada punto T, se levanta una perpendicular a la recta r hasta interceptar la mediatriz de P-Q; este punto de intersección es el centro C1 de la circunferencia buscada.

3. Circunferencia que pasa por dos puntos $P$ y $Q$ y es tangente a una circunferencia dada $c$

Condiciones: $P_e(P), P_e(Q), c$

• Paso 1: La mediatriz de los dos puntos dados es el lugar geométrico donde se ubicarán los centros.
• Paso 2: La recta que une los dos puntos dados (P y Q) actúa como un eje radical.
• Paso 3: Con centro en un punto arbitrario de la mediatriz y radio hasta uno de los puntos dados, se traza una circunferencia auxiliar que debe cortar a la circunferencia dada c.
• Paso 4: El lugar donde la circunferencia auxiliar corta a la dada define un segundo eje radical.
• Paso 5: El punto donde se cortan los dos ejes radicales es el centro radical.
• Paso 6: Se traza la tangente a la circunferencia auxiliar desde el centro radical.
• Paso 7: Con centro en el centro radical y radio hasta el punto de tangencia de la tangente a la circunferencia auxiliar, se traza un arco.
• Paso 8: Los puntos donde dicho arco corta a la circunferencia dada c son los puntos de tangencia buscados.
• Paso 9: Al unir los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia dada, el lugar donde estas rectas corten a la mediatriz inicial determinará los centros de las circunferencias buscadas.

4. Circunferencia que pasa por un punto $P_e$ y es tangente a dos rectas $r_1$ y $r_2$

Condiciones: $P_e, r, r$

• Paso 1: Dibujar la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas dadas.
• Paso 2: Una de las rectas dadas se considera como un eje radical. El otro eje radical es la recta perpendicular a la bisectriz que pasa por el punto dado.
• Paso 3: El centro radical se encuentra en el punto de intersección de los dos ejes radicales.
• Paso 4: Se dibuja una circunferencia auxiliar con centro en la bisectriz y radio hasta el punto dado.
• Paso 5: Se determina la tangente desde el centro radical a la circunferencia auxiliar.
• Paso 6: Con centro en el centro radical y radio hasta el punto de tangencia de la circunferencia auxiliar, se traza un arco.
• Paso 7: Los puntos donde ese arco corta a la recta dada son los puntos de tangencia de la circunferencia buscada.
• Paso 8: Levantando perpendiculares a la recta dada por los puntos de tangencia, se obtienen los centros buscados sobre la bisectriz.