Construcciones Geométricas: Tangentes a Cónicas y Trazado por Radios Vectores

Construcciones Geométricas de Tangentes a Cónicas y Trazado por Radios Vectores

Tangentes a una Elipse Paralelas a una Dirección Dada (Segundo Procedimiento)

Se traza la circunferencia focal con centro en F1. Por F2 se traza una perpendicular a la dirección dada, que corta en N y M a la circunferencia focal. Como estos puntos deben ser simétricos de F2 respecto a las tangentes, las mediatrices de los segmentos F2N y F2M son las tangentes a la elipse en la dirección dada. Los puntos de tangencia se hallan uniendo N y M con el otro foco (F1), obteniéndose T1 y T2 respectivamente.

Trazado de la Hipérbola Mediante Radios Vectores

Se conoce el eje real y los focos de la hipérbola. Se tiene en cuenta la definición de la hipérbola: tomamos pares de radios vectores cuya diferencia sea 2a. Para ello:

1. Determinamos una serie de puntos sobre el eje real (1, 2, 3, 4, …) y tomamos como parejas de radios vectores los segmentos A1-B1, A2-B2, A3-B3, etc.
2. Con centros en F y F’ y arcos los pares de radios vectores, obtenemos cuatro puntos de la hipérbola por cada pareja, uno en cada cuadrante.

Tangente a la Hipérbola por un Punto de la Misma

La tangente a la hipérbola por un punto P de la misma es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores (PF y PF’) en dicho punto. La normal será la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Tangente a la Hipérbola por un Punto P Exterior

Primer Procedimiento

Se conocen los focos y el eje real de la hipérbola. Se traza la circunferencia principal (centro O y diámetro AB). Se traza un arco de centro C1 (punto medio del segmento PF) y radio C1F, que corta a la circunferencia principal en 1 y 2. Las rectas P1 y P2 son las tangentes de la hipérbola (t1 y t2). Para hallar los puntos de tangencia, se trazan las rectas O1 y O2, y por el otro foco F’, se trazan paralelas a dichas rectas, que determinan en la intersección con las tangentes los puntos de tangencia T1 y T2.

Segundo Procedimiento

Se conocen los focos y el eje real de la hipérbola. Se traza la circunferencia focal de F1 (centro F1 y radio AB). Se traza arco de centro P y radio PF2, que corta a la circunferencia focal en M y N. Las mediatrices de los segmentos MF2 y NF2 son las tangentes de la hipérbola (t1 y t2). Para hallar los puntos de tangencia, se unen los puntos M y N con F1 y se prolongan hasta cortar a las rectas tangentes en los puntos de tangencia T1 y T2.

Las asíntotas de una hipérbola son las tangentes a ella en el infinito. Son simétricas con respecto a los ejes de la hipérbola. Se traza el arco de centro en O y radio OF. Se levanta una perpendicular al eje real por el vértice A. La intersección de ambos, punto 1 de la figura, pertenece a la asíntota. Sólo resta unir dicho punto con el centro O de la hipérbola. La otra asíntota es simétrica. En el triángulo O1A, se tiene que O1 = c, 1A = b y OA = a.

Trazado de la Parábola Mediante Radios Vectores

Se conoce la directriz, el eje y el foco de la parábola. Se tiene en cuenta la definición de la parábola, buscándose puntos equidistantes del foco y de la directriz de la parábola. El vértice es el punto medio del segmento FD, o sea, el segmento perpendicular por F a la recta directriz. Sobre el eje se toman una serie de puntos (1, 2, 3,…) por los que trazamos paralelas a la directriz. Se trazan arcos con centro en F y radios las distancias D1, D2, D3,… Se determinan sobre las correspondientes paralelas los puntos 1’, 2’, 3’,… que pertenecen a la parábola. Los simétricos de estos puntos respecto al eje pertenecen a la otra rama de la parábola.

Tangente a la Parábola por un Punto de la Misma

La tangente a la parábola por un punto P de la misma es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores (PF y PQ) en dicho punto. La normal será la perpendicular a la tangente. Se conoce el foco y el vértice de la parábola.

Tangente a la Parábola por un Punto Exterior

Se traza la perpendicular al eje por el vértice (esta recta es realmente la circunferencia principal). Se halla el punto C, punto medio del segmento PF que une el punto exterior, P, con el foco, F, de la parábola. Se traza un arco de centro C y radio CF, que corta a la perpendicular anterior en 1 y 2. Las rectas P1 y P2 (t1 y t2 de la figura) son tangentes a la parábola. Para hallar los puntos de tangencia, se hallan los puntos F1 y F2 (o sea, F1 y F2 simétricos F con respecto a las tangentes).