Construcciones Geométricas: Trazado de Tangentes a Circunferencias y Rectas

Construcciones Fundamentales de Tangentes

Tangentes desde un Punto Exterior a una Circunferencia

• Se traza una recta que une el punto exterior (P) con el centro (O) de la circunferencia.
• Se halla la mediatriz del segmento PO. El punto medio de PO será el centro (M) de una nueva circunferencia.
• Se dibuja una circunferencia auxiliar con centro en M y radio MP (o MO).
• Los puntos de intersección de esta circunferencia auxiliar con la circunferencia original son los puntos de tangencia (T1 y T2).
• Finalmente, se unen el punto P con T1 y P con T2 para obtener las rectas tangentes.

Tangentes Exteriores Comunes a Dos Circunferencias

Este método se basa en la reducción del problema a tangentes desde un punto a una circunferencia auxiliar.

• Se unen los centros (O1 y O2) de ambas circunferencias.
• Se calcula la diferencia de los radios: R_dif = R_mayor - R_menor.
• Con centro en el centro de la circunferencia mayor (O1) y radio R_dif, se dibuja una circunferencia auxiliar.
• Desde el centro de la circunferencia menor (O2), se trazan las tangentes a esta circunferencia auxiliar. Los puntos de tangencia en la auxiliar son T'1 y T'2.
• Se unen O1 con T'1 y O1 con T'2. Se prolongan estas líneas hasta que corten la circunferencia mayor en los puntos de tangencia (T1 y T2).
• Desde O2, se trazan radios paralelos a las líneas O1T1 y O1T2, en la misma dirección. Los puntos donde estos radios cortan la circunferencia menor son T3 y T4.
• Las rectas tangentes exteriores son las que unen T1 con T3 y T2 con T4.

Tangentes Interiores Comunes a Dos Circunferencias

Similar al caso anterior, pero utilizando la suma de los radios.

• Se unen los centros (O1 y O2) de ambas circunferencias.
• Se calcula la suma de los radios: R_suma = R_mayor + R_menor.
• Con centro en el centro de la circunferencia mayor (O1) y radio R_suma, se dibuja una circunferencia auxiliar.
• Desde el centro de la circunferencia menor (O2), se trazan las tangentes a esta circunferencia auxiliar. Los puntos de tangencia en la auxiliar son T'1 y T'2.
• Se unen O1 con T'1 y O1 con T'2. Se prolongan estas líneas hasta que corten la circunferencia mayor en los puntos de tangencia (T1 y T2).
• Desde O2, se trazan radios paralelos a las líneas O1T1 y O1T2, pero en dirección opuesta. Los puntos donde estos radios cortan la circunferencia menor son T3 y T4.
• Las rectas tangentes interiores son las que unen T1 con T4 y T2 con T3 (en diagonal).

Tangentes Exteriores Comunes a Dos Circunferencias por Homotecia

Este método utiliza el concepto de homotecia para encontrar el centro homotético.

• Se traza la recta que une los centros (O1 y O2) de ambas circunferencias.
• Se trazan radios paralelos en ambas circunferencias, en la misma dirección (por ejemplo, ambos verticales hacia arriba). Se unen los extremos de estos radios con una línea.
• El punto donde esta línea intersecta la recta O1O2 es el centro de homotecia (O).
• Desde el centro de homotecia (O), se trazan las tangentes a una de las circunferencias (por ejemplo, la circunferencia de centro O2). Para ello, se halla la mediatriz del segmento OO2 y se dibuja una circunferencia con diámetro OO2. Los puntos de intersección con la circunferencia de O2 son los puntos de tangencia (T1 y T2) en esa circunferencia.
• Se unen O con T1 y O con T2. Estas son las rectas tangentes comunes. Los puntos de tangencia en la otra circunferencia (O1) se encuentran trazando líneas paralelas a OT1 y OT2 que pasen por O1.

Tangentes Interiores Comunes a Dos Circunferencias por Homotecia

Similar al método anterior, pero con radios en direcciones opuestas.

• Se traza la recta que une los centros (O1 y O2) de ambas circunferencias.
• Se trazan radios paralelos en ambas circunferencias, pero en direcciones opuestas (por ejemplo, uno vertical hacia arriba y el otro vertical hacia abajo). Se unen los extremos de estos radios con una línea.
• El punto donde esta línea intersecta la recta O1O2 es el centro de homotecia (O).
• Desde el centro de homotecia (O), se trazan las tangentes a una de las circunferencias (por ejemplo, la circunferencia de centro O2). Para ello, se halla la mediatriz del segmento OO2 y se dibuja una circunferencia con diámetro OO2. Los puntos de intersección con la circunferencia de O2 son los puntos de tangencia (T1 y T2) en esa circunferencia.
• Se unen O con T1 y O con T2. Estas son las rectas tangentes comunes. Los puntos de tangencia en la otra circunferencia (O1) se encuentran trazando líneas paralelas a OT1 y OT2 que pasen por O1.

Trazado de Circunferencias de Radio Dado Tangentes a una Recta y una Circunferencia

Este problema tiene múltiples soluciones dependiendo de la posición relativa y el radio dado.

Caso 1: Circunferencias tangentes externamente a la dada

• Se traza una recta paralela a la recta dada, a una distancia igual al radio dado (r_dado).
• Con centro en el centro de la circunferencia dada (O) y radio igual a la suma del radio de la circunferencia dada (r_original) y el radio dado (r_dado), se dibuja una circunferencia auxiliar (R_aux = r_original + r_dado).
• Los puntos de intersección de la recta paralela con la circunferencia auxiliar son los centros (Q1 y Q2) de las circunferencias buscadas.
• Desde Q1 y Q2, se trazan perpendiculares a la recta dada para encontrar los puntos de tangencia (T_recta1 y T_recta2) en la recta.
• Se unen Q1 con O y Q2 con O. Los puntos donde estas líneas cortan la circunferencia original son los puntos de tangencia (T_circ1 y T_circ2) en la circunferencia.
• Finalmente, se dibujan las circunferencias con centros Q1 y Q2 y radio r_dado.

Caso 2: Circunferencias tangentes internamente a la dada (si r_dado < r_original)

• Se traza una recta paralela a la recta dada, a una distancia igual al radio dado (r_dado).
• Con centro en el centro de la circunferencia dada (O) y radio igual a la diferencia del radio de la circunferencia dada (r_original) y el radio dado (r_dado), se dibuja una circunferencia auxiliar (R_aux = r_original - r_dado).
• Los puntos de intersección de la recta paralela con esta segunda circunferencia auxiliar son los centros (P1 y P2) de las circunferencias buscadas.
• Desde P1 y P2, se trazan perpendiculares a la recta dada para encontrar los puntos de tangencia (T_recta3 y T_recta4) en la recta.
• Se unen P1 con O y P2 con O. Los puntos donde estas líneas cortan la circunferencia original son los puntos de tangencia (T_circ3 y T_circ4) en la circunferencia.
• Finalmente, se dibujan las circunferencias con centros P1 y P2 y radio r_dado.

Trazado de Circunferencias de Radio Dado Tangentes a Dos Circunferencias

Este problema puede tener hasta ocho soluciones, dependiendo de si la tangencia es externa o interna a cada una de las circunferencias dadas.

• Para cada una de las dos circunferencias dadas (C1 con centro O1 y radio R1; C2 con centro O2 y radio R2), se trazan cuatro circunferencias auxiliares con el radio dado (r_dado):
  • Con centro O1:
    • Circunferencia auxiliar 1: Radio = R1 + r_dado (tangencia externa)
    • Circunferencia auxiliar 2: Radio = |R1 - r_dado| (tangencia interna)
  • Con centro O2:
    • Circunferencia auxiliar 3: Radio = R2 + r_dado (tangencia externa)
    • Circunferencia auxiliar 4: Radio = |R2 - r_dado| (tangencia interna)
• Los puntos de intersección entre las circunferencias auxiliares de O1 y las de O2 son los centros de las circunferencias buscadas. Por ejemplo:
  • Intersección de (R1 + r_dado) con (R2 + r_dado): Centros para tangencia externa a ambas.
  • Intersección de (R1 + r_dado) con |R2 - r_dado|: Centros para tangencia externa a C1 e interna a C2.
  • Intersección de |R1 - r_dado| con (R2 + r_dado): Centros para tangencia interna a C1 y externa a C2.
  • Intersección de |R1 - r_dado| con |R2 - r_dado|: Centros para tangencia interna a ambas.
• Se dibujan las circunferencias con estos centros y el radio r_dado.