Contraste de Hipótesis: Media y Diferencia de Medias Poblacionales

Contraste de Hipótesis para la Media Poblacional con Sigma Conocida

En esta sección, abordaremos el contraste de hipótesis para la media poblacional cuando la desviación estándar poblacional (σ) es conocida. Se presentan tres casos distintos, variando la hipótesis alternativa.

Caso a)

• Hipótesis Nula (H₀): μ = 298
• Hipótesis Alternativa (H₁): μ ≠ 298

Cálculo de los valores críticos (2.5% en cada cola): ± 2.2010

Sustituyendo:

• k₁ = 298 - (2.2010 * (238.2 / √12)) = 146.65
• k₂ = 298 + (2.2010 * (238.2 / √12)) = 449.35

En la muestra, x = 418.3 ∈ (146.65, 449.35), por lo tanto, no se rechaza H₀: μ = 298 frente a la alternativa H₁: μ ≠ 298.

Caso b)

• Hipótesis Nula (H₀): μ = 298
• Hipótesis Alternativa (H₁): μ > 298

Cálculo del valor crítico (5% en la cola derecha): 1.7959

Sustituyendo:

k = 298 + (1.7959 * (238.2 / √12)) = 421.49

En la muestra, x = 418.3 < 421.49, por lo tanto, no se rechaza H₀: μ = 298 frente a la alternativa H₁: μ > 298.

Caso c)

• Hipótesis Nula (H₀): μ = 298
• Hipótesis Alternativa (H₁): μ < 298

Cálculo del valor crítico (5% en la cola izquierda): -1.7959

Sustituyendo:

k = 298 - (1.7959 * (238.2 / √12)) = 174.51

En la muestra, x = 418.3 > 174.51, por lo tanto, no se rechaza H₀: μ = 298 frente a la alternativa H₁: μ < 298.

Contraste de Hipótesis para la Diferencia de Medias Poblacionales con Sigma Desconocida e Iguales

En esta sección, se analiza el contraste de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales cuando las desviaciones estándar poblacionales (σ_x, σ_y) son desconocidas pero se asumen iguales.

Caso a)

• Hipótesis Nula (H₀): μ_X - μ_Y = 68.7
• Hipótesis Alternativa (H₁): μ_X - μ_Y ≠ 68.7

Cálculo de los valores críticos (2.5% en cada cola): ± 1.96

Sustituyendo:

• k₁ = 68.7 - (1.96 * √(16641 / 6) + (12100 / 10)) = -55.01
• k₂ = 68.7 + (1.96 * √(16641 / 6) + (12100 / 10)) = 192.41

En la muestra, x - y = 267.7 - 254.5 = 13.2 ∈ (-55.01, 192.41), por lo tanto, no se rechaza H₀: μ_X - μ_Y = 68.7 frente a la alternativa H₁: μ_X - μ_Y ≠ 68.7.

Caso b)

• Hipótesis Nula (H₀): μ_X - μ_Y = 68.7
• Hipótesis Alternativa (H₁): μ_X - μ_Y > 68.7

Cálculo del valor crítico (5% en la cola derecha): 1.64

Sustituyendo:

k = 68.7 + (1.64 * √(16641 / 6) + (12100 / 10)) = 172.21

En la muestra, x - y = 13.2 < 172.21, por lo tanto, no se rechaza H₀: μ_X - μ_Y = 68.7 frente a la alternativa H₁: μ_X - μ_Y > 68.7.

Caso c)

• Hipótesis Nula (H₀): μ_X - μ_Y = 68.7
• Hipótesis Alternativa (H₁): μ_X - μ_Y < 68.7

Cálculo del valor crítico (5% en la cola izquierda): -1.64

Sustituyendo:

k = 68.7 - (1.64 * √(16641 / 6) + (12100 / 10)) = -34.81

En la muestra, x - y = 13.2 > -34.81, por lo tanto, no se rechaza H₀: μ_X - μ_Y = 68.7 frente a la alternativa H₁: μ_X - μ_Y < 68.7.