Convergencia del Núcleo Económico y el Equilibrio Competitivo en Economías Replicadas

El Núcleo de la Economía y su Convergencia al Equilibrio Competitivo

¿Cuando crece el número de agentes, qué ocurre con las asignaciones del núcleo que no son de equilibrio competitivo?

Si la economía aumenta de tamaño, aparecen más coaliciones y, por ende, más oportunidades de bloquear asignaciones. Esto implica que el núcleo se contrae al hacerse mayor la economía. Toda asignación x que no sea un equilibrio walrasiano (EW) quedará finalmente fuera del núcleo r-ésimo de la economía. Las asignaciones del núcleo en las economías grandes tienden a coincidir con las del EW.

Propiedades de las Asignaciones del Núcleo

Si una asignación y pertenece al núcleo, pero no es un EW, entonces, si la economía es suficientemente grande, será bloqueada por otra asignación b.

Como y no es un EW, la recta que une la dotación inicial w e y corta a la curva de indiferencia U_A1 que pasa por y. Entonces, se puede elegir un punto como b que el agente A prefiere a y.

La asignación de equilibrio competitivo cumple la condición de que la recta que va desde la dotación inicial w hasta ella (x*) no corta ninguna curva de indiferencia que pase por la asignación.

Todos los puntos del núcleo que no sean de equilibrio competitivo terminan desapareciendo, lo que implica que las asignaciones del núcleo en economías grandes pueden descentralizarse mediante precios.

El Teorema de la Contracción del Núcleo

Suponga una economía con dos bienes y dos tipos de agentes. Demuestre que si una asignación que no es de equilibrio pertenece al núcleo, existirá una réplica de la economía tal que dicha asignación ya no pertenecerá al núcleo de la economía replicada:

Enunciado del Teorema

Teorema de la Contracción del Núcleo: Si las preferencias son estrictamente convexas y monótonas, y solo existe una asignación de equilibrio walrasiano (EW), x*, para las dotaciones iniciales, entonces V es una asignación que no es del EW y existirá una réplica a escala r de la economía tal que V no pertenezca al núcleo r-ésimo de la economía.

Demostración

Para demostrar este teorema, seguimos los siguientes pasos:

1. Tomamos una réplica a escala V de la economía.
2. Formamos una coalición de V agentes A y V-t agentes B con una asignación Z que proporciona una asignación g(a) a los individuos A y v(b) a los individuos B.
3. Consideramos las preferencias de los individuos:
   • Para individuos A: U_A(Z_A) > U_A(y_A)
   • Para individuos B: U_B(Z_B) > U_B(y_B)
4. El individuo A puede sobornar al B con un épsilon más, lo que refuerza la capacidad de bloqueo.

Por tanto, la coalición propuesta puede bloquear la asignación a través de Z en la réplica a escala r de la economía. De esta manera, todas las asignaciones del núcleo que no sean EW desaparecerán del núcleo de la réplica de la economía, confirmando la contracción del núcleo hacia el equilibrio walrasiano a medida que la economía se replica.