Coordenadas Cartesianas Rectangulares en el Espacio Tridimensional

Coordenadas Cartesianas Rectangulares en el Espacio

Punto P en el Plano

Consiste en asignarle coordenadas relativas a dos ejes mutuamente ortogonales (o perpendiculares), llamados ejes x e y. Si P es el punto de intersección de la recta x = a (perpendicular al eje x) y la recta y = b (perpendicular al eje y), entonces se dice que los elementos de la pareja ordenada (a; b) son las coordenadas cartesianas rectangulares del punto.

Espacio Tridimensional

En el espacio de tres dimensiones se construye un sistema de coordenadas rectangulares utilizando tres ejes mutuamente ortogonales. El punto en el que estos ejes se cortan se llama origen (O). Son tres planos perpendiculares al eje x; eje y y eje z respectivamente; el punto P en el cual se cortan dichos planos se puede representar por una tríada ordenada de números (a; b; c) llamados coordenadas cartesianas rectangulares del punto. Los puntos a; b y c se denominan coordenadas x; y; z de P(a; b; c) respectivamente. Cada pareja (o par) de ejes coordenados determina un plano coordenado. Los ejes x e y determinan el plano xy, los ejes x y z determinan el plano xz y así sucesivamente. Los planos coordenados dividen el espacio tridimensional en ocho partes conocidas como octantes. El octante en el cual las tres coordenadas de un punto son positivas se llama primer octante. No existe ningún acuerdo para denominar a los otros siete octantes. La siguiente tabla resume las coordenadas de un punto que se encuentre en un eje coordenado o en un plano coordenado. Es también posible describir, por ejemplo, el plano xy mediante la simple ecuación z = 0, como se ve en la tabla. De manera semejante, el plano xz es y = 0, y el plano yz es x = 0.

Ecuación del Plano

Toda ecuación lineal en (x; y; z) representa un plano. Su ecuación general es:

Ax + By + Cz + D = 0

• A, B y C: Coeficientes directores del plano. No nulos simultáneamente
• El plano queda identificado por su recta normal “n” que tiene coeficientes A, B y C

La ecuación de la familia de planos que pasa por un punto P₀(x₀; y₀; z₀) es:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

Planos Paralelos

Sí: A₁ = B₁ = C₁
A₂ B₂ C₂

• π₁: A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0 - n₁ (A₁; B₁; C₁)
• π₂: A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0 - n₂ (A₂; B₂; C₂)