Criterio de Routh-Hurwitz: Estabilidad de Sistemas y Análisis Detallado

¿En qué casos el criterio de Routh-Hurwitz no puede aplicarse?

El criterio de Routh es válido únicamente si la ecuación característica es algebraica con coeficientes reales. Si cualquiera de los coeficientes es complejo o si la ecuación no es algebraica, hay que usar el diagrama de Bode.

Casos especiales en la tabulación de Routh

a) Caso especial cuando la tabulación de Routh termina abruptamente:

1. El primer elemento de la tabulación de Routh es cero, pero los otros no lo son.
2. Los elementos de un renglón de la tabulación de Routh son todos cero.

En el primer caso, si un cero aparece en el primer elemento de un renglón, los elementos del siguiente renglón serán todos infinitos y la tabulación no podrá continuar. Para remediar la situación, se lo reemplaza por un valor muy pequeño y positivo (ε) y se continúa con la tabulación de Routh. Hay 2 cambios de signo, por lo tanto, hay 2 raíces en el semiplano derecho, y el sistema es inestable.

s=0.09059 ± j0.902 s=0.4057 ± j1.2928

b) En el caso de raíces imaginarias puras, este método puede no dar resultados correctos.

c) En el caso en que todos los elementos de un renglón son cero antes de que la tabulación de Routh termine apropiadamente, indica que una o más de las siguientes condiciones pueden existir:

1. La ecuación tiene al menos un par de raíces reales de igual magnitud y signos opuestos.
2. La ecuación tiene uno o más pares de raíces imaginarias.

Estabilidad de Sistemas

Estabilidad: Un sistema es estable si a una entrada acotada obtenemos una salida acotada. Para que un sistema sea estable: al aplicar la transferencia, todas las raíces de la ecuación característica o los polos de la función de transferencia deben estar localizados en el semiplano izquierdo del plano s. Si se localizan sobre el imaginario, son raíces simples y no existe ninguna raíz en el semiplano derecho, el sistema es marginalmente estable o marginalmente inestable.

Estabilidad en sistemas de control: La respuesta de estado cero se debe a la entrada con todas las condiciones iniciales iguales a cero.

Respuesta de entrada a cero: Se debe a las condiciones iniciales únicamente, con todas las entradas iguales a cero.

Respuesta total: Es igual a la respuesta de estado cero más la respuesta de entrada cero.

Estabilidad de entrada Cero: Se refiere a la condición de estabilidad cuando la entrada es cero y el sistema es llevado únicamente por sus condiciones.

Estabilidad de entrada acotada y salida: Con condiciones iniciales a cero, se dice que un sistema es estable de entrada acotada/salida acotada o simplemente estable si su salida es acotada para una entrada acotada.

Diagrama de Bode

Diagrama de Bode: Es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Consta de dos gráficas separadas: una corresponde a la magnitud de la función en decibelios en función de la frecuencia en escala logarítmica, y la segunda gráfica corresponde a la fase en grados en función de la frecuencia en escala logarítmica.

Procedimiento para trazar el diagrama de Bode:

1. Se escribe la función de transferencia senoidal como un producto de los factores básicos.
2. Luego se identifican las frecuencias de cruce asociadas con cada uno de esos factores.
3. Se trazan las curvas asintóticas del logaritmo de la magnitud con las pendientes adecuadas entre las frecuencias. Esto se realiza sumando algebraicamente los aportes de cada uno de los factores. Si se requiere una curva exacta, se puede obtener agregando las correcciones adecuadas.

Criterio de Routh-Hurwitz

Criterio de Routh-Hurwitz: Este criterio es un método algebraico que proporciona información sobre la estabilidad absoluta de un sistema lineal e invariante en el tiempo que tiene una ecuación característica con coeficientes constantes. El criterio prueba si cualquiera de las raíces de la ecuación característica está en el semiplano derecho del plano s. También indica el número de raíces que están sobre el eje jω. Para que la ecuación no tenga raíces con partes reales positivas es necesario y suficiente que:

1. Todos los coeficientes de la ecuación tengan el mismo signo.
2. Ninguno de los coeficientes sea igual a cero.

Tabulación de Hurwitz

Criterio de Hurwitz o Tabulación de Hurwitz: El criterio de Routh-Hurwitz está basado en el criterio de Hurwitz, condición suficiente y necesaria para que sea estable. Este procedimiento se conoce como la tabulación de Routh. Una vez completada, observamos los cambios de signo en la primera columna. Las raíces están todas en el semiplano izquierdo si todos los elementos de la columna son del mismo signo. El número de cambios de signo es igual al número de raíces con partes reales positivas en el semiplano derecho.

Procedimiento para obtener la respuesta en frecuencias:

1. Se obtiene la función de transferencia para el segmento o sistema. Todas las condiciones iniciales se deprecian porque afectan la respuesta en estado estable.
2. Se sustituye “s” por jω en la función de transferencia.
3. Para varios valores de frecuencia ω, se determina la relación de amplitud “M” y el ángulo de fase θ.
4. Se grafican los resultados, ya sea en coordenadas rectangulares (diagrama de Bode) o coordenadas polares (diagrama de Nyquist).

Procedimiento para determinar la estabilidad de un sistema a partir del diagrama de Bode

1. Se determina el valor de la frecuencia (ωc) trazando para ello una línea horizontal que pase por -180º hasta cortar la gráfica del diagrama de fase. Luego, desde este punto, se traza una línea vertical hasta el eje de las frecuencias.
2. Se traza sobre la gráfica de amplitud una línea vertical que pase por la frecuencia crítica (ωc) y corte el diagrama de amplitud. La diferencia entre este punto y el (0 dB) nos da el margen de ganancia.
3. Sobre el diagrama de amplitud se dibuja una línea horizontal que pasa por 0 dB hasta cortar la gráfica de amplitud. Desde este punto se dibuja una línea vertical hasta cortar el eje de las frecuencias. Este valor es la frecuencia de ganancia crítica (ωg).
4. Sobre el diagrama de fase, se dibuja una línea vertical que pase por el valor de la frecuencia de ganancia crítica y corte la gráfica de fase. La diferencia entre este punto y -180º nos da el margen de fase.
5. Para que el sistema sea estable, tanto el margen de fase como el margen de ganancia tienen que ser mayores a cero.